第1篇：《垂直于弦的直径》教学设计
《垂直于弦的直径》教学设计
一、教材分析：
教材的地位和作用：本节课要研究的是圆的轴对称性与垂径定理及简单应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。另外，本节课通过“实验－观察－猜想－证明”的途径，进一步培养学生的动手能力，观察能力，分析、联想能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。
教学重点、难点与关键：通过分析，我们看到“垂径定理”在教材中起着重要的作用，是今后解决有关计算证明和作图问题的重要依据，它有广泛的应用,因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。（用投影仪显示）由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一，同时，对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，虽不作严格证明，但学生理解也是比较困难的，因此，本节课的难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。（投影仪显示）理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。（投影仪显示）
目标分析：（板书并用投影仪显示教学目标）依据学生已有的认知基础及本课教材的地位、作用，依据九年义务教育数学教学大纲确定本节课的教学目标，由于数学教学不仅是知识的教学，技能的训练，更应重视能力的培养及情感教育，因此确定教学目标为：
1、认知目标：(1)使学生理解圆的轴对称性；(2)掌握垂径定理；(3)学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
2、发展目标：通过探索式学习，提高学生的探索能力；通过变式教学，培养学生的发散思维；培养学生；通过开放式教学，培养学生的创造能力和思维的灵活性；培养学生应用数学的意识以及观察能力、分析能力及联想能力。
3、情感目标：培养学生独立思考，努力探索，大胆实践，勇于创新的精神和品质。强化学生的学习兴趣，培养学生的团队精神，协作能力，从而变“要我学”为“我要学”。通过联系、发展、对立统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。
二、学情分析：针对初中生好奇、求趣、求知、求新的学习心理和争强好胜的年龄特征，以及学生现有的认知基础，本节课拟采用“探索发现式”的学习方法和小组学习的形式，以激发学习兴趣，活跃学生的思维，发展学生的能力。由于部分学生可能产生畏难情绪，以及烦躁不安的心理焦虑现象，所以采用“低起点，缓坡度，快反馈，层层推进”的教学方式。
作者：张宝洪
三、教法、学法及反馈措施： １、教法构想：鉴于教材特点及初三学生的认知水平，我选用引导发现法和直观演示法，引导发现法属于启发式教学，通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多活动、多观察，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验－观察－猜想－证明”的活动，最后得出定理，这符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教学论中自觉性和积极性、教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。例题的设计也反应特殊与一般的关系，渗透辩证唯物主义的观点。同时在教学中，还充分利用教具，在实验，演示，操作，观察，练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合教学论中直观性与可接受性原则。另外，教学中我还注重不同图片的颜色对比来启发学生，运用投影仪提高教学效率。关于教材的处理：(1)对于圆的轴对称性及垂径定理的发现、证明，采用师生共同演示的方法。(2)例1讲完后总结出辅助线作法的七字口诀“半径半弦弦心距”，得直角三角形中三边的关系式ar2d2。将例2作为例1的延伸，并动态演示弦AB的位置变化，2结合学生实际情况作适当的拓广。(3)课本 2学习兴趣和求知欲望，可为发现新知识创设一个最佳的心理和认知环境。教师和学生共同演示教具与学具(学生课前自制等腰三角形纸片），通过对折，回忆等腰三角形是轴对称图形，其底边的垂直平分线是它的对称轴，并复习轴对称图形的概念。如果以刚才演示的等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，那么圆是否是轴对称图形呢？
这样了解了学生的认知基础，带领学生作好学习新课的知识准备并逐步引入新课。
2、启发诱导，缘旧悟新：这一部分的教学设计，主要是发挥学生作为教学主体的主动性，自己去发现问题、寻找解决问题的方案，通过积极的双边活动来达到教学目标。（板书）
在引入新课的同时，运用教具与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验，把圆形纸片沿直径对折，观察两部分重合，通过实验，引导学生得出结论：(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。（出示教具演示）。然后再请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦 AB；(2)过圆心作AB的垂线得直径CD且交AB于E。（出示教具演示）引导学生分析直径CD与弦AB的垂直关系，说明CD是垂于弦的直径，并设问：它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？这样就很自然地导出本节课的课题，此时教师板书课题 7.3 垂直于弦的直径。这样通过全体学生参与实验，逐步导出新课。
为了再现垂径定理的发现过程，还是先从实验开始，让学生将上述作好的圆沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有那些线段相等、弧相等从而通过“实验－观察－猜想”，获得感性认识，并得出猜想：在圆O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于E.那么AE=BE，AC=BC，AD=BD.但这个结论是同学们通过实验猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们来证明它。教师引导学生：上述猜想的条件和结论是什么，并将文字语言转换成符号语言，写出已知和求证，这为后面分清定理的题设和结论做了铺垫，同时也是证明命题的必要。
接下来，我再对学生引导分析：要证明线段相等的方法很多，而证明弧相等的方法目前只有依据定义，即证明两条弧重合。证明这三部分重合的关键是A、B两点重合。而A、B两点重合的关键是A、B两点关于直线CD对称。因此，引导学生连接OA、OB，说明CD既是三角形AOB的对称轴，也是圆O的对称轴，即可以得到这三部分重合。（教具演示）这种方法即“叠合法”，学生是不常用的，通过师生共同演示是比较好理解的。此时教师板书垂径定理的内容（投影仪显示）。
为了对定理有初步的认识，要求学生分清定理的题设和结论，定理的题设有两个(1)直径(2)垂直于弦；结论是(1)平分弦(2)平分弦所对的两条弧。这样在新课讲解这个环节中：（1）充分用教具与实验的直观性，有力地启发学生，培养学生的学习兴趣，使学生的思维逐步展开；（2）加强学生对文字语言作者：张宝洪 与符号语言的翻译；（3）突出知识的产生过程，教会学生会动手做、动眼看、动脑想、动口说，突破教学的难点，为达到本课的教学目标奠定了坚实的基础。为了进一步强调定理使用条件，我出了题组一，让学生快速抢答：
(1)直径平分弦；(2)垂直于弦的直线平分弦；(3)垂直于弦的半径平分弦。（教师可用如下图示说明）（投影仪）
针对学生回答问题的情况，教师进一步强调垂径定理的两个条件“垂”与“径”缺一不可。在此基础上，可将定理中的题设与结论进一步明确、直观化，即定理的变式：（投影仪显示）
文字语言：一条直线（1）过圆心，（2）垂直于弦，则（a）平分弦，（b）平分弦所对的劣弧，（c）平分弦所对的优弧；
符号语言：（1）CD过圆心，（2）CD⊥ AB于E，则（a）AE=BE，（b）AC=BC，（C）AD=BD.这样使学生更直观地理解使用垂径定理时的两个条件与可得出的结论，同时为下节课讲垂径定理的推论奠定了良好的基础。
3、讲练结合，应用新知：动口还需动手，通过例题，使学生巩固概念，加深认识，初步具备解决相关问题的能力，同时也突出重点，进而突破难点。
为了及时巩固，帮助学生对所学定理的理解与使用讲完定理及变式后，我依据本班学生的实际情况及他们的心理特点，设计了包括例1在内的有梯度的，循序渐进的变式训练题让学生尝试。
题组二：（投影仪显示）如图（教师将圆形纸片教具贴在黑板上），口答：(1)AB=8，OE=3，则OA=？；（2）OA=1O，OE=6，则AB=？；
(3)AB=1,∠AOE=30,则OE=？;（4）AB=OA=5，则OE=？，∠AOE=？ 通过步步加深的练习，加强学生对定理的理解与直接应用，引导学生积极参与思维，培养学生分析问题及解决问题的能力，并引导学生小结：此类问题可以归结为直角三角形求解，为了突出这个直角三角形，教师将教具（出示彩色直角三角形纸片）贴在上述圆上，并分析直角三角形的三边，即“半径半弦弦心距”（教师略释弦心距的含义）辅助线作法的“七字口诀”，然后结合勾股定理
a得出三边的数量关系rd。并说明，垂径定理与勾股定理合用，将问
2222题化归为直角三角形求解，这样使学生对定理的认识又上了一个新台阶。在此基础上针对学生的实际情况出示题组三：（投影仪显示）
若以圆O为圆心再画一个圆，交弦AB于C、D则AC与BD间可能存在什么关系？试证明你的结论。
将例2作为例1的延伸，并符合学生的认知规律，引导学生的解法要突出“七字口诀”的重要性及垂径定理的优越性，带领学生看课本中的解答。（投影仪显示）
通过题组训练使学生对垂径定理有了更进一步认识，并掌握了有关计算、证明等方面的简单应用，培养学生数学应用意识。
作者：张宝洪
4、变式训练，提高拓展：这一阶段是学生巩固知识,发展能力的阶段,也是易疲劳,注意力分散的阶段.教师应该通过变式训练,活跃课堂气氛,对学生思维的灵活性、深刻性进行优化。
学生对所学定理到底是否掌握了呢？为了检测学生对本课教学目标的达成情况，进一步加强定理的应用训练，我设计了反馈练习（投影仪显示），针对学生解答情况，及时查漏补缺。
5、阅读自悟，反思完善：指导学生认真阅读教材，反思我应该学什么？我学会了什么？
设计意图：培养学生的归纳概括能力，学生在回顾、总结、反思的过程中能有效把握知识的脉络，找到知识之间的有机联系，概念的掌握靠理解、思想方法的掌握靠领悟。
6、课外议练，巩固提高：了解学生的差异，分层布置练习，注意塑造个人风格，充分发挥辅导作用，培养学生自学的良好习惯，这也是“个性化学习”的一点尝试。
至此，估计学生基本能够掌握定理，达到预定目标，这时，利用提问形式，师生共同进行小结：（投影仪显示）
圆的轴对称性－垂径定理－应用（半径半弦弦心距）（直角三角形)通过小结，使知识成为体系，帮助学生全面理解、掌握所学知识，同时可说明弦的中点、弧的中点都集中在垂直于弦的直径上，对学生进行数学美育教育。最后布置作业，结合学生的实际情况，为了更好地因材施教，我的作业题分为必做题与选做题，（1）必做题：84页习题7.1A组11，12.这个作业是让学生回顾、复习本节所学定理，并能正确应用定理进行简单作图与证明，目的是进一步巩固、加深理解定理。
选做题：85页B组2，让学有余力的学生进一步练习，目的是调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质。
另外，作业限时20分钟，减轻学生的负担，提高学习效率。（2）你还存在哪些疑点？（学生反思）
（3）有条件的同学在互联网上查找有关资料进行学习。
五、几点说明：
1、板书设计：
板书设计分为三部分，点和教学方法，充分让学生参与教学，通过“实验－观察－猜想－证明”的思想，让每个学生都能够达到大纲规定的基本要求。
作者：张宝洪
第2篇：垂直于弦的直径教学设计
垂直于弦的直径教学设计
垂直于弦的直径教学设计
一、教材分析
（一）本课教学内容分析
本节课要研究的是圆的轴对称性与垂径定理及简单应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。
（二）教学目标
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征 ，我制定如下教学目标
1、知识和技能：
①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
2、过程和方法：
①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；
②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3、情感态度和价值观：
激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望，以及对学生进行数学美的教育。
（三） 教学重点、难点
重点：垂径定理及其应用
难点：垂径定理的证明与垂径定理的理解及灵活应用.
二、学习者特征分析
一般特征：学生是农村校的九年级学生，班级学生在学习方面之间存在一定的差异；但学生对生活中隐含的数学问题兴趣浓厚。
初始能力：学生在小学学习“圆的认识”和“轴对称图形”时，已经对圆的轴对称性有了基本的认识与了解。但对对称轴及轴对称的性质应用理解不足。
信息素养：大部分学生的信息素养一般。
三、教学策略阐述
1.情景创设策略：通过生活中的图片，有效激发学生学习的兴趣和求知欲，创设宽松活泼的课堂教学气氛，维持学生学习的动机。
2．类比启发策略：在完成教学要求的基础上，通过设置与生活实际紧密联系的问题情境，巩固提高学生运用知识解决生活问题的能力。
3．引导探究策略：学生通过小组合作，探索出垂径定理，充分发挥学生的主体作用。
四、教学过程
一、情景导入，激疑引趣
1介绍和展示中国石拱桥中由隋代工匠李春建造的赵州桥（如挂图）。
2该实例中建立与本课题密切有关的数学问题
聆听背景介绍和欣赏石拱桥的图形，并思考教师提出的问题
挂图
以同学们所熟知的赵州桥入手,并从该实例中建立与本课题密切有关的数学问题.这样既能激发学生的兴趣,又能引发学生更深层次的`思考.使学生认识到数学总是与现实问题密不可分,将实际问题数学化,可让学生从一些简单实例中不断体会从现实世界中寻找数学模型,建立数学关系的方法.
二、尝试诱导，发现定理
1、活动：让学生拿出事先准备好的圆形纸片，想想能否通过折叠的方法找到该圆的圆心？为什么？
2、教师演示线段AB的运动变换。
3、让学生大胆提出猜想。
学生通过找圆心的游戏复习了圆的轴对称性
学生通过线段AB的运动变换很自然地渡到垂直于弦的直径，经历了由特殊到一般的探索过程，并通过实验--观察--分析--猜想，主动地探索垂径定理的知识
利用多媒体播放折叠过程和线段AB的运动变换过程
教学内容重新整合，将圆的轴对称性的学习变成了操作性强，又具有趣味性的“找圆心”问题，激发了学生的求知欲望，调动了学生学习的积极性，通过线段AB的运动变换很自然地渡到垂直于弦的直径，让学生经历了由特殊到一般的探索过程，这符合学生的认知规律，引导学生通过实验--观察--分析--猜想，主动地探索垂径定理的知识。这一过程突出知识地产生过程，教会学生动眼看、动手做、动脑想、动口说，主动参与到教学活动中，这样做有利于发挥学生的主动性，发展他们的创造性，为达到本课的教学目标奠定了坚实的基础
三、引导探究，证明定理
教师板书出已知、求证并引导学生从以下两方面寻找证明思路，然后利用叠合法即可证出。
根据上面的证明，请学生自己用文字语言和符号语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。
让学生观察图形（如图4(a)~(d)）中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。
学生在教师的引导下进行定理的证明
根据上面的证明，学生自己用文字语言和符号语言进行定理归纳
学生观察教师给出的定理的变式图形，以强化对定理基本图形的理解
1、在学生动手操作—折纸和演示的基础上，利用圆的轴对称性，采用叠合法证明垂径定理是学生容易接受的，
目的是既使学生重视证明表述，又加深对它的发现与理解。
2、让学生经历了实验—观察—猜想—证明，学生的思维逐步被展开，现在可以引导学生证明并归纳定理，归纳定理时采用了文字语言和符号语言两种形式
3、强化对基本图形的理解，从特殊到一般，培养学对几何图形的化归思维能力。几何定理中文字语言、符号语言，图形语言的相互联系与转换也是学生应具备的能力。
四、例题示范，变式练习
1、教师出示例题：例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长8c，圆心O到AB的距离为3c，求⊙O的半径.
讲完例1后，教师总结：半径、圆心到弦的距离及弦长三者有何关系？
2、例2 在例1图形的基础上，以⊙O的圆心再画一个圆交弦AB于C、D，则AB与CD可能存在的关系？试证明
教师总结：在圆中，解弦的有关问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只须从圆心作一条与弦垂直的线段。
在教师的分析引导下学会利用垂径定理解决相关的数学问题
把握解决此类问题的关键点
将例2作为例1的延伸，渗透了从“特殊”到“一般”解题思想方法，使学生体会到由浅到深，由表及里的学习过程 ，符合学生的认知规律，引导学生的解法要突出“七字口诀”的重要性及垂径定理的优越性，.通过题组训练使学生对垂径定理有了更进一步认识，并掌握了有关计算、证明等方面的简单应用，教师教学时应突出作圆心到弦的垂线段，是应用垂径定理时常用的添加辅助线方法。
五、巩固练习，化疑解难
教师出示课前所留的有关赵州桥桥拱半径的问题。
赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？
学生独立思考，当堂练习
数学于实践，又应用于实践。在例题中，老师把新课引入的实际问题，在结束前引导学生运用所学知识加以解决，注重培养学生解决实际问题的能力。首尾呼应，形成一个课堂教学的整体。
六、课堂回顾，画龙点睛
通过本节课的学习你有哪些想法和收获？
小组讨论后师生共同小结
师生共同回顾学习内容，有助于学生将知识系统化，条理化，帮助学生全面理解、掌握所学知识，同时可说明弦的中点、弧的中点都集中在垂直于弦的直径上，对学生进行数学美育教育。
七、课后作业
结合学生的实际情况，为了更好地因材施教，我的作业题分为必做题与选做题，及时巩固知识，达到课堂内容的延伸，调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质。
第3篇：《垂直于弦的直径》的课程教学设计
《垂直于弦的直径》的课程教学设计
第一课时 （一）
教学目标 ：
（1）理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；
（2）进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；
（3）通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。
教学重点、难点：
重点：
①垂径定理及应用；
②从感性到理性的学习能力。
难点：垂径定理的证明。
教学学习活动设计：
（一）实验活动，提出问题：
1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性。
2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题。
通过演示实验观察感性理性引出垂径定理。
（二）垂径定理及证明：
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。
求证：AE=EB， =， =。
第4篇：《垂直于弦的直径》的教学反思
24.1.2《垂直于弦的直径》教学反思
单位：浉河区游河乡中心校
教师：张晓娟
《垂直于弦的直径》的教学反思
浉河区游河乡中心校张晓娟
本节课主要经过了三个环节：第一个环节是让学生通过折自制的圆形图片得出圆是轴对称图形，每一条经过圆心的直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴。第二个环节是让学生通过探究得出垂经定理的内容。第三个环节是利用垂经定理解决有关方面的计算。其中，第二个环节是本节课的重点，也是我这节课的一个亮点。具体经过以下5个步骤：
（1）让学生拿出自己手中的圆形图片对折圆，找出圆心。（学生 很感兴趣，有些同学折的 是两条互相垂直的直径得出圆心，有些同学折的是两条斜交的直径得出圆心，但方法都很好。）
（2）让两条互相垂直的直径其中一条不动，另一条直径向下平移，变成一条普通的弦，并且和原来的一条直径仍然
第5篇：垂直于弦的直径教学反思
垂直于弦的直径教学反思
学情分析
本节课是在上节课学习了圆的概念及弧、弦等概念的基础上的一节课。在上节课结束时留给学生这样一个问题“你还想进一步研究什么?”通过学习，学生很容易联系到上节课学习了圆、弧、弦、直径、半径等有关知识。那么圆内这些元素还具有哪些性质呢?学生自然地从上节课过渡到这节课的学习，同时培养了学生勤于动脑，勤于思考的好习惯，激发了学生学习的兴趣与热情。
本节课主要有两方面的内容：一是圆的轴对称性，二是垂径定理及其推论。开始以赵州桥的问题引入课题，带着问题进行学习。圆的轴对称性主要是通过动手操作得出结论，圆是轴对称图形，根据轴对称性进一步研究圆中相等的弦、弧得出垂径定理及其推论。利用此定理再去解决赵州桥问题，每一个环节都是环环相扣，不是孤立存在的。教学目标
经历探索圆的轴对称性及相关性质
