第1篇：初三圆知识点总结
圆知识点是数学中的重要考点，我们应该怎么才能更好地进行掌握呢?下面是小编推荐给大家的初三圆知识点总结，希望能带给大家帮助。
初三圆知识点总结
1.不在同一直线上的三点确定一个圆。
2.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
4.圆是定点的距离等于定长的点的集合
5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
7.同圆或等圆的半径相等
8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
9.定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等
10.推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
11定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角
12.①直线L和⊙O相交 d
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d>r
13.切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
14.切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
17.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
18.圆的外切四边形的两组对边的和相等 外角等于内对角
19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
20.①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r
③.两圆相交 R-rr)
④.两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含dr)
21.定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
22.定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
23.定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
24.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
25.定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
26.正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
27.正三角形面积√3a/4 a表示边长
28.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
29.弧长计算公式：L=n兀R/180
30.扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2
31.内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
32.定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
33.推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
34.推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所 对的弦是直径
35.弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r
第2篇：初三数学圆知识点总结
初三数学
圆知识点总结
一、本章知识框架
二、本章重点
1．圆的定义：
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
2．判定一个点P是否在⊙O上．
设⊙O的半径为R，OP＝d，则有
d>r点P在⊙O
外；
d＝r点P在⊙O
上；
d
内．
3．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．
(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．
弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．
弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．
4．圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．
垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．
(5)平行弦夹的弧相等．
5．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．
(4)垂心：是三角形三边高线的交点．
6．切线的判定、性质：
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径．
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．
③经过切点作切线的垂线经过圆心．
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
7．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．
8．直线和圆的位置关系：
设⊙O
半径为R，点O到直线l的距离为d．
(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．
(3)直线l和⊙O
有两个公共点直线l和⊙O
相交d
9．圆和圆的位置关系：
设的半径为R、r(R>r)，圆心距．
(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R＋r．
(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d
(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．
(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r．
(5)有两个公共点相交R－r
10．两圆的性质：
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．
11．圆中有关计算：
圆的面积公式：，周长C＝2πR．
圆心角为n°、半径为R的弧长．
圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．
【经典例题精讲】
例1
如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？
分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律．
解：
连结OP，P点为中点．
小结：此题运用垂径定理进行推断．
例2
下列命题正确的是（）
A．相等的圆周角对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．三点确定一个圆
D．平分弦的直径垂直于弦．
解：
A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确．
B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确．
C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．
D．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦．
故选B．
例3
四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．
分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．
解：
设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．
x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．
∴∠D＝90°．
小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长．
例4
为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是__________cm．
分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过
P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解．
解：
．
小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．
例5
已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距．
解：分两种情况讨论：
(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，∴．
又∵AB＝16
∴AC＝8．
在中，．
在中，．
故．
(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB交于C，连结．
∵垂直平分AB，∴．
又∵AB＝16，∴AC＝8．
在中，．
在中，．
故．
注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．
三、相关定理：
1.相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）
说明：几何语言： 若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
例1．
已知P为⊙O内一点，⊙O半径为，过P任作一弦AB，设，则关于的函数关系式为。
解：由相交弦定理得，即，其中
2.切割线定理
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB
例2．
已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：
即，（舍）
由切割线定理，由勾股定理，∴
∴
∴
四、辅助线总结
1.圆中常见的辅助线
1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．
2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．
3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．
4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．
5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角．
6)．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角．
7)．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．
8)．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．
9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．
10)．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点．
11)．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线．
12)．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．
13)．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．
2、圆中较特殊的辅助线
1)．过圆外一点或圆上一点作圆的切线．
2)．将割线、相交弦补充完整．
3)．作辅助圆．
例1如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为（）
A．2
B．3
C．4
D．5
分析：连结OC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB知CD＝DE．设AE＝x，则在Rt△CEO中，即，则，(舍去)．
答案：A．
例2如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于（）
A．35°
B．90°
C．110°
D．120°
分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．
例3
如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于（）
A．
B．
C．
D．
分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即．答案：B．
例4
如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，．
求：EM的长．
简析：(1)由DC是⊙O的直径，知DE⊥EC，于是．设EM＝x，则AM·MB＝x(7－x)，即．所以．而EM>MC，即EM＝4．
例5如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程(其中m为实数)的两根．
(1)求证：BE＝BD；
(2)若，求∠A的度数．
简析：(1)由BE、BD是关于x的方程的两根，得，则m＝－2．所以，原方程为．得．故BE＝BD．
(2)由相交弦定理，得，即．而PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易证∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，则，所以，所以．在Rt△ACB中，故∠A＝60°．
第3篇：初三圆的知识点总结
初三圆的知识点是一个重要考试点，那么我们要掌握的关键又是哪一些呢?下面就随小编一起去阅读初三圆的知识点总结，相信能带给大家启发。
初三圆的知识点总结
一、主要知识点：
1.点的轨迹是符合某些条件的所有点组成的图形.
注：分析点的轨迹图形时，先描出几个符合条件的点，再猜想这些点会构成什么图形.
2.垂径定理：过圆心且垂直于弦的直线，平分这条弦，且平分弦所对的弧.
注：用于计算时，一般先连结过弦的一个端点的半径，
构造Rt△，再结合勾股定理求解.
3.推论：圆中两平行弦所夹的弧相等.
4.同圆或等圆中，以下四个条件中的一个成立，则它们所对应的其余条件都成立：
(1)弧相等;(2)弦相等;(3)圆心角相等;(4)弦心距相等.
5.圆周角定理：一条弧所对的圆周角=它所对的圆心角的一半.
或：一条弧所对的周角的度数=这条弧的度
第4篇：初三数学圆的知识点总结
初三数学圆的知识点总结
总结是对某一阶段的工作、学习或思想中的经验或情况进行分析研究的书面材料，它可以明确下一步的工作方向，少走弯路，少犯错误，提高工作效益，让我们一起来学习写总结吧。总结你想好怎么写了吗？以下是小编为大家收集的初三数学圆的知识点总结，欢迎大家分享。
1.不在同一直线上的三点确定一个圆。
2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
推论1 ①平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等
3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
4.圆是定点的距离等于定长的点的集合
5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
6.圆的外部可
第5篇：圆知识点总结
圆知识点是数学中的一大考点，题目也变化多端，那么我们应该怎么进行圆知识点的归纳呢?下面圆知识点总结是小编为大家带来的，希望对大家有所帮助。
圆知识点总结
一、圆的定义。
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素。
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。
(1)劣弧：小于半圆周的弧。
(2)优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2
第6篇：高中圆知识点总结
高中圆知识点总结(（共12篇））由网友 “茶这儿呢” 投稿提供，以下是小编帮大家整理后的高中圆知识点总结，欢迎大家收藏分享。
篇1：高中圆知识点总结
高中圆知识点总结
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹：
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；
3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
圆周角定理推论：
圆周角定理:在同圆或等圆
第7篇：初中圆知识点总结
初中圆知识点总结
1、圆是到定点的距离等于定长的点组成的图形。
2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点组成的图形。
3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点组成的图形。
4、同圆或等圆的半径相等。
5、到定点的距离等于定长的点组成的图形，是以定点为圆心，定长为半径的圆。
6、定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。
7、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。
8、推论1：
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
9、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等
10、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.圆是以直径所在直线为对称轴的轴对称图形。
11、定理：在同圆或
第8篇：初中圆知识点总结
初中圆知识点并不是十分的多，需要的是考生们举一反三的能力，下面初中圆知识点总结是小编为大家带来的，希望对大家有所帮助。
初中圆知识点总结
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹：
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆;
2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线;
3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
定义：
1.不在同一直线上的三点确定一个圆。
2.垂径定理垂直于弦的
