第1篇：高三理科数学算法初步复习教案
高三理科数学算法初步复习教案
高三理科数学算法初步复习教案
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考试要求 重难点击 命题展望
1.了解算法的含义，了解算法的思想.
2.理解程序框图的三 种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.
3.理解几种基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
4.了解几个古代的算法案例，能用辗转相除法及更相减损术求最大公约数;用秦九韶算法求多项式的值;了解进位制，会进行不同进位制之间的转化. 本章重点：1.算法的三种基本逻辑结构即顺序结构、条件结构和循环结构;2.输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句(两种形式)的结构、作用与功能及各种语句的格式要求.
本章难点：1.用自然语言表示算法和运用程序框图表示算法;2.用算法的基本思想编写程序解决简单问题.弄清三种基本逻辑结构的区别，把握程序语言中所包含的一些基本语句结构 . 算法初步作为数学新增部分，在高考中一定会体现出它的重要性和实用性.
高考中将重点考查对变量赋值的理解和掌握、对条件结构和循环结构的灵活运用，学会根据要求画出程序框图;预计高考中，将考查程序框图、循环结构和算法思想，并结合函数与数列考查逻辑思维能力.因此算法知识与其他知识的结合将是高考的重点，这也恰恰体现了算法的普遍性、工具性，当然难度不会太大，重在考查算法的概念及其思想.
1.以选择题、填空题为主，重点考查算法的含义、程序框图、基本算法语句以及算法案例等内容.
2.解答题中可要求学生设计一个计算的程序并画出程序框图，能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力.
知识网络
11.1 算法的含义与程序框图
典例精析
题型一 算法的含义
【例1】已知球的表面积是16，要求球的体积，写出解决该问题的一个算法.
【解析】算法如下：
第一步，s=16.
第二步，计算R=s4.
第三步，计算V=4R33.
第四步，输出V.
【点拨】给出一个问题，设计算法应该注意：
(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法，此问题涉及到的各种情况;
(2)将此问题分成若干个步骤;
(3)用简练的语句将各步表述出来.
【变式训练1】设计一个计算 135791113的算法.图中给出程序的一部分，则在横线①上不能填入的数是()
A.13
B.13.5
C.14
D.14.5
【解析】当I13成立时，只能运算
1357911.故选A.
题型二 程序框图
【例2】图一是某县参加2010年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数).图二是统计图一中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是()
A.i6? B.i7? C.i8? D.i9?
图一
【解析】根据题意可知，i的初始值为4，输出结果应该是A4+A5+A6+A7，因此判断框中应填写i8?，选C.
【点拨】本题的命题角度较为新颖，信息量较大，以条形统计图为知识点进行铺垫，介绍了算法流程图中各个数据的引入来源，其考查点集中于循环结构的终止条件的判断，考查了学生合理地进行推理与迅速作出判断的解题能力，解本题的过程中不少考生误选A，实质上本题中的数据并不大，考生完全可以直接从头开始限次按流程 图循环观察，依次写出每次循环后的变量的赋值，即可得解.
【变式训练2】(2009辽宁)某店一个月的收入和支出，总共记录了 N个数据a1，a2，，aN.其中收入记为正数，支出记为负数，该店用如图所示的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在 图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的()
A.A0?，V=S-T
B.A0?，V=S-T
C.A0?，V=S+T
D.A0?，V=S+T
【解析】选C.
题型三 算法的条件结构
【例3】某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：
f=
其中f(单位：元)为托运费，为托运物品的重量(单位：千克)，试写出一个计算费用f的算法，并画出相应的程序框图.
【解析】算法如下：
第一步，输入物品重量.
第二步，如果50，那么f=0.53，
否则，f=500.53+(-50)0.85.
第三步，输出托运费f.
程序框图如图所示.
【点拨】求分段函数值的算法应用到条件结构，因此在程序框图的`画法中需要引入判断框，要根据题目的要求引入判断框的个数，而判断框内的条件不同，对应的框图中的内容或操作就相应地进行变化.
【变式训练3】(2010天津)阅读如图的程序框图，若输出s的值为-7，则判断框内可填写()
A.i3?
B.i4?
C.i5?
D.i6?
【解析】i=1，s=2-1=1;
i=3，s=1-3=-2;
i=5，s=-2-5=-7.所以选D.
题型四 算法的循环结构
【例4】设计一个计算10个数的平均数的算法，并画出程序框图.
【解析】算法步骤如下：
第一步，令S=0.
第二步，令I=1.
第三步，输入一个数G.
第四步，令S=S+G.
第五步，令I=I+1.
第六步，若I10，转到第七步，
若I10，转到第三步.
第七步，令A=S/10.
第八步，输出A.
据上述算法步骤，程序框图如图.
【点拨】(1)引入变量S作为累加变量，引入I为计数变量，对于这种多个数据的处理问题，可通过循环结构来达到;(2)计数变量用于记录循环次数，同时它的取值还用于判断循环是否终止，累加变量用于输出结果.
【变式训练4】设计一个求12310的程序框图.
【解析】程序框图如下面的图一或图二.
图一 图二
总结提高
1.给出一个问题，设计算法时应注意：
(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法;
(2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况;
(3)借助有关的变量或参数对算法加以表述;
(4)将解决问题的过程划分为若干个步骤;
(5)用简练的语言将各个步骤表示出来.
2.循环结构有两种形式，即当型和直到型，这两种形式的循环结构在执行流程上有所不同，当型循环是当条件满足时执行循环体，不满足时退出循环体;而直到型循环则是当条件不满足时执行循环体，满足时退出循环体.所以判断框内的条件，是由两种循环语句确定的，不得随便更改.
3.条件结构主要用在一些需要依据条件进行判断的算法中.如分段函数的求值，数据的大小关系等问题的算法设计.
11.2 基本算法语句
典例精析
题型一 输入、输出与赋值语句的应用
【例1】阅读程序框图(如下图)，若输入m=4，n=6，则输出a= ，i= .
【解析】a=12，i=3.
【点拨】赋值语句是一种重要的基本语句，也是程序必不可少的重要组成部分，使用赋值语句，要注意其格式要求.
【变式训练1】(2010陕西)如图是求样本x1，x2，，x10的平均数 的程序框图，则图中空白框中应填入的内容为()
A.S=S+xn B.S= S+xnn C.S=S+n D.S=S+ 1n
【解析】因为此步为求和，显然为S=S+xn，故选A.
题型二 循环语句的应用
【例2】设计算法求112+123+134++199100的值.要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序.
【解析】这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算 法.程序框图如下图所示：
程序如下：
s=0
k=1
DO
s=s+1/(k* (k+1))
k=k+1
LOOP UNTIL k99
PRINT s
END
【点拨】(1)在用WHILE语句和UNTIL语句编写程序解决问题时，一定要注意格式和条件的表述方法，WHILE语句是当条件满足时执行循环体，UNTIL语句是当条件不满足时执行循环体.
(2)在解决一些需要反复执行的运算任务，如累加求 和、累乘求积等问题中应注意考虑利用循环语句来实现.
(3)在循环语句中，也可以嵌套条件语句，甚至是循环语句，此时需要注意嵌套的这些语句，保证语句的完整性，否则就会造成程序无法执行.
【变式训练2】下图是输出某个有限数列各项的程序框图，则该框图所输出的最后一个数据是.
【解析】由程序框图可知，当N=1时，A=1;N=2时，A=13;N=3时，A=15，，即输出各个A值的分母是以1为首项以2为公差的等差数列，故当N=50时，A=11+(50-1)2=199，即为框图最后输出的一个数据.故填199.
题型三 算法语句的实际应用
【例3】某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间3分钟以内，收取通话费0.2元，如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费(通话不足1分钟时按1分钟计算).试设计一个计算通话费用的算法，要求写出算法，编写程序.
【解析】我们用c(单位：元)表示通话费，t(单位：分钟)表示通话时间，
则依题意有
算法步骤如下：
第一步，输入通话时间t.
第二步，如果t3，那么c=0.2;否则c=0.2+0.1[t-2].
第三步，输出通话费用c.
程序如下：
INPUT t
IF t3 THEN
c=0.2
ELSE
c=0.2+0.1*INT(t-2)
END IF
PRINT c
END
【点拨】在解决实际问题时，要正确理解其中的算法思想，根据题目写出其关系式，再写出相应的算法步骤，画出程序框图，最后准确地编写出程序，同时要注意结合题意加深对算法的理解.
【变式训练3】(2010江苏)下图是一个算法流程图，则输出S的值是.
【解析】n=1时，S=3;n=2时，S=3+4=7;n=3时，S=7+8=15;n=4时，S=15+24=31;n=5时，S=31+25=63.因为6333，所以输出的S值为63.
总结提高
1.输入、输出语句可以设计提示信息，加引号表示出来，与变量之间用分号隔开.
2.赋值语句的赋值号左边只能是变量而不能是表达式;赋值号左右两边不能对换，不能利用赋值语句进行代数式计算，利用赋值语句可以实 现两个变量值的互换，方法是引进第三个变量，用三个赋值语句完成.
3.在某些算法中，根据需要，在条件语句的THEN分支或ELSE分支中又可以包含条件语句.遇到这样的问题，要分清内外条件结构，保证结构的完整性.
4.分清WHILE语句和UNTIL语句的格式，在解决一些需要反复执行的运算任务，如累加求和，累乘求积等问题中应主要考虑利用循环语句来实现，但也要结合其他语句如条件语句.
5.编程的一般步骤：
(1)算法分析;(2)画出程序框图;(3)写出程序.
11.3 算法案例
典例精析
题型一 求最大公约数
【例1】(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数;
(2)用更相减损术求440与556的最大公约数.
【解析】(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数：
1 764=8402+84，
840=8410+0.
所以840与1 764的最大公约数是84.
(2)用更相减损术求440与556的最大公约数：
556-440=116，
440-116=324，
324-116=208，
208-116=92，
116-92=24，
92-24=68，
68-24=44，
44-24=20，
24-20=4，
20-4=16，
16-4=12，
12-4=8，
8-4=4.
所以440与556的最大公约数是4.
【点拨】(1)辗转相除法与更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法，辗转相除法用较大的数除以较小的数，直到大数被小数除尽结 束运算，较小的数就是最大公约数;更相减损术是用两数中较大的数减去较小的数，直到所得的差和较小数相等为止，这个较小数就是这两个数的最大公约数.一般情况下，辗转相除法步骤较少，而更相减损术步骤较多，但运算简易，解题时要灵活运用.
(2)两个以上的数求最大公约数，先求其中两个数的最大公约数，再用所得的公约数与其他各数求最大公约数即可.
【变式训练1】求147,343,133的最大公约数.
【解析】先求147与343的最大公约数.
343-147=196，
196-147=49，
147-49=98，
98-49=49，
所以147与343的最大公约数为49.
再求49与133的最大公约数.
133-49=84，
84-49=35，
49-35=14，
35-14=21，
21-14=7，
14-7=7.
所以147,343,133的最大公约数为7.
题型二 秦九韶算法的应用
【例2】用秦九韶算 法写出求多项式f(x)=1+x+0.5x2+0.016 67x3+0.041 67x4+0.008 33x5在x=-0.2时的值的过程.
【解析】先把函数整理成f(x)=((((0.008 33x+0.041 67)x+0.166 67)x+0.5)x+1)x+1，
按照从内向外的顺序依次进行.
x=-0.2，
a5=0.008 33， v0=a5=0.008 33;
a4=0.041 67， v1=v0x+a4=0.04;
a3=0.016 67， v2=v1x+a3=0.008 67;
a2=0.5， v3=v2x+a2=0.498 27;
a1=1， v4=v3x+a1=0.900 35;
a0=1， v5=v4x+a0=0.819 93;
所以f(-0.2)=0.819 93.
【点拨】秦九韶算法是多项式求值的最优算法，特点是：
(1)将高次多项式的求值化为一次多项式求值;
(2)减少运算次数，提高效率;
(3)步骤重复实施，能用计算机操作.
【变式训练2】用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1当x=2时的值为.
【解析】1 397.
题型三 进位制之间的转换
【例3】(1)将101 111 011(2)转化为十进制的数;
(2)将53(8)转化为二进制的数.
【解析】(1)101 111 011(2)=128+027+126+125+124+123+022+121+1=379.
(2)53(8)=581+3=43.
所以53(8)=101 011(2).
【点拨】将k进制数转换为十进制数，关键是先写成幂的积的形式再求和，将十进制数转换为k进制数，用除k取余法，余数的书写是由下往上，顺序不能颠倒，k进制化为m进制(k，m10)，可以用十进制过渡.
【变式训练3】把十进制数89化为三进制数.
【解析】具体的计算方法如下：
89=329+2，
29=39+2，
9=33+0，
3=31+0，
1=30+1，
所以89(10)=10 022(3).
总结提高
1.辗转相除法和更相减损术都是用来求两个数的最大公约数的方法.其算法不同，但二者的原理却是相似的，主要区别是一个是除法运算，一个是减法运算，实质都是一个递推的过程.用秦九韶算法计算多项式的值，关键是正确的将多项式改写，然后由内向外，依次计算求解.
2.将k进制数转化为十进制数的算法和将十进制数转化为k进制数的算法操作性很强，要掌握算法步骤，并熟练转化;要熟练应用除基数，倒取余，一直除到商为0.
第2篇：高三理科数学数列复习教案
高三理科数学数列复习教案
高三理科数学数列复习教案
1.数列的概念和简单表示法?
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);? (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数.?
2.等差数列、等比数列?
(1)理解等差数列、等比数列的概念;?
(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式;?
(3)能在具体问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题;?
(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 本章重点：1.等差数列、等比数列的定义、通项公式和前n项和公式及有关性质;
2.注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、分组求和法、函数与方程思想、数学模型思想以及离散与连续的关系.?
本章难点：
1.数列概念的理解;
2.等差等比数列性质的运用;
3.数列通项与求和方法的运用.
仍然会以客观题考查等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式及性质，在解答题中，会保持以前的风格，注重数列与其他分支的综合能力的考查，在高考中，数列常考常新，其主要原因是它作为一 个特殊函数，使它可以与函数、不等式、解析几何、三角函数等综合起来，命出开放性、探索性强的问题，更体现了知识交叉命题原则得以贯彻;又因为数列与生产、生活的联系，使数列应用题也倍受欢迎.
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6.1 数列的概念与简单表示法
典例精析
题型一 归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式：
(1)7,77,777,7 777，
(2)23，-415，635，-863，
(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，
【解析】(1)将数列变形为79(10-1)，79(102-1)，79(103-1)，，79(10n-1)，
故an=79(10n-1).
(2)分开观察，正负号由(-1)n+1确定，分子是偶数2n，分母是13,35,57， ，(2n-1)(2n+1)，故数列的通项公式可写成an =(-1)n+1 .
(3)将已知数列变为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0，.
故数列的通项公式为an=n+ .
【点拨】联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项序数的一般规律，从而求得通项.
【变式训练1】如下表定义函数f(x)：
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 4 3 1 2
对于数列{an}，a1=4，an=f(an-1)，n=2,3,4，，则a2 008的值是()
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】a1=4，a2=1，a3=5，a4=2，a5=4，，可得an+4=an.
所以a2 008=a4=2，故选B.
题型二 应用an= 求数列通项
【例2】已知数列{an}的前n项和Sn，分别求其通项公式：
(1)Sn=3n-2;
(2)Sn=18(an+2)2 (an0).
【解析】(1)当n=1时，a1=S1=31-2=1，
当n2时，an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=23n-1，
又a1=1不适合上式，
故an=
(2)当n=1时，a1=S1=18(a1+2)2，解得a1=2，
当n2时，an=Sn-Sn-1=18(an+2)2-18(an-1+2)2，
所以(an-2)2-(an-1+2)2=0，所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0，
又an0，所以an-an-1=4，
可知{an}为等差数列，公差为4，
所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)4=4n-2，
a1=2也适合上式，故an=4n-2.
【点拨】本例的关键是应用an= 求数列的通项，特别要注意验证a1的值是否满足2的一般性通项公式.
【变式训练2】已知a1=1，an=n(an+1-an)(nN*)，则数列{an}的通项公式是()
A.2n-1 B.(n+1n)n-1 C.n2 D.n
【解析】由an=n(an+1-an)an+1an=n+1n.
所以an=anan-1an-1an-2a2a1=nn-1n-1n-23221=n，故选D.
题型三 利用递推关系求数列的通项
【例3】已知在数列{an}中a1=1，求满足下列条件的数列的通项公式：
(1)an+1=an1+2an;(2)an+1=2an+2n+1.
【解析】(1)因为对于一切nN*，an0，
因此由an+1=an1+2an得1an+1=1an+2，即1an+1-1an=2.
所以{1an}是等差数列，1an=1a1+(n-1)2=2n-1，即an=12n-1.
(2)根据已知条件得an+12n+1=an2n+1，即an+12n+1-an2n=1.
所以数列{an2n}是等差数列，an2n=12+(n-1)=2n-12，即an=(2n-1)2n-1.
【点拨】通项公式及递推关系是给出数列的常用方法，尤其是后者，可以通过进一步的计算，将其进行转化，构造新数列求通项，进而可以求得所求数列的通项公式.
【变式训练3】设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3，)，求an.
【解析】因为数列{an}是首项为1的正项数列，
所以anan+10，所以(n+1)an+1an-nanan+1+1=0，
令an+1an=t，所以(n+1)t2+t-n=0，
所以[(n+1)t-n](t+1)=0，
得t=nn+1或t=-1(舍去)，即an+1an=nn+1.
所以a2a1a3a2a4a3a5a4anan-1=12233445n-1n，所以an=1n.
总结提高
1.给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一.
2.由Sn求an时，要分n=1和n2两种情况.
3.给出Sn与an的递推关系，要求an，常用思路是：一是利用Sn-Sn-1=an(n2)转化为an的.递推关系，再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
6.2 等差数列
典例精析
题型一 等差数列的判定与基本运算
【例1】已知数列{an}前n项和Sn=n2-9n.
(1)求证：{an}为等差数列;(2)记数列{|an|}的前n项和为Tn，求 Tn的表达式.
【解析】(1)证明：n=1时，a1=S1=-8，
当n2时，an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10，
当n=1时，也适合该式，所以an=2n-10 (nN*).
当n2时，an-an-1=2，所以{an}为等差数列.
(2)因为n5时，an0，n6时，an0.
所以当n5时，Tn=-Sn=9n-n2，
当n6时，Tn=a1+a2++a5+a6++an
=-a1-a2--a5+a6+a7++an
=Sn-2S5=n2-9n-2(-20)=n2-9n+40，
所以，
【点拨】根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求 和公式.
【变式训练1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S21=42，若记bn= ，则数列{bn}()
A.是等差数列，但不是等比数列 B.是等比数列，但不是等差数列
C.既是等差数列，又是等比数列 D.既不是等差数列，又不是等比数列
【解析】本题考查了两类常见数列，特别是等差数列的性质.根据条件找出等差数列{an}的首项与公差之间的关系从而确定数列{bn}的通项是解决问题的突破口.{an}是等差数列，则S21=21a1+21202d=42.
所以a1+10d=2，即a11=2.所以bn= =22-(2a11)=20=1，即数列{bn}是非0常数列，既是等差数列又是等比数列.答案为C.
题型二 公式的应用
【例2】设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S120，S130.
(1)求公差d的取值范围;
(2)指出S1，S2，，S12中哪一个值最大，并说明理由.
【解析】(1)依题意，有
S12=12a1+12(12-1)d20，S13=13a1+13(13-1)d20，
即
由a3=12，得a1=12-2d.③
将③分别代入①②式，得
所以-247
(2)方法一：由d0可知a1a3a13，
因此，若在112中存在自然数n，使得an0，an+10，
则Sn就是S1，S2，，S12中的最大值.
由于S12=6(a6+a7)0，S13=13a70，
即a6+a70，a70，因此a60，a70，
故在S1，S2，，S12中，S6的值最大.
方法二：由d0可知a1a3a13，
因此，若在112中存在自然数n，使得an0，an+10，
则Sn就是S1，S2，，S12中的最大值.
故在S1，S2，，S12中，S6的值最大.
【变式训练2】在等差数列{an}中，公差d0，a2 008，a2 009是方程x2-3x-5=0的两个根，Sn是数列{an}的前n项的和，那么满足条件Sn0的最大自然数n=.
【解析】由题意知 又因为公差d0，所以a2 0080，a2 0090. 当
n=4 015时，S4 015=a1+a4 01524 015=a2 0084 015当n=4 016时，S4 016=a1+a4 01624 016=a2 008+a2 00924 0160.所以满足条件Sn0的最大自然数n=4 015.
题型三 性质的应用
【例3】某地区2010年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天增加40人;但从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天减少10人.
(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数;
(2)该地区9月份(共30天)该病毒新感染者共有多少人?
【解析】(1)由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者的人数构成一个首项为40，公差为40的等差数列.
所以9月10日的新感染者人数为40+(10-1)40=400(人).
所以9月11日的新感染者人数为400-10=390(人).
(2)9月份前10天的新感染者人数和为S10=10(40+400)2=2 200(人)，
9月份后20天流感病毒的新感染者的人数，构成一个首项为390，公差为-10的等差数列.
所以后20天新感染者的人数和为T20=20390+20(20-1)2(-10)=5 900(人).
所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200+5 900=8 100(人).
【变式训练3】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S410，S515，则a4的最大值为
.
【解析】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且S410，S515，
所以5+3d23+d，即5+3d6+2d，所以d1，
所以a43+1=4，故a4的最大值为4.
总结提高
1.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，am=an+(m-n)d.
2.在五个量a1、d、n、an、Sn中，知其中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的.
3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a，a+d，a+2d外，还可设a-d，a，a +d;四个数成等差数列时，可设为a-3m，a-m，a+m，a+3m.
4.在求解数列问题时，要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用.
6.3 等比数列
典例精析
题型一 等比数列的基本运算与判定
【例1】数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=n+2nSn(n=1,2,3，).求证：
(1)数列{Snn}是等比数列;(2)Sn+1=4an.
【解析】(1)因为an+1=Sn+1-Sn，an+1=n+2nSn，
所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).
整理得nSn+1=2(n+1)Sn，所以Sn+1n+1=2Snn，
故{Snn}是以2为公比的等比数列.
(2)由(1)知Sn+1n+1=4Sn-1n-1 =4ann+1(n2)，
于是Sn+1=4(n+1)Sn-1n-1=4an(n2).
又a2=3S1=3，故S2=a1+a2=4.
因此对于任意正整数n1，都有Sn+1=4an.
【点拨】①运用等比数列的基本公式，将已知条件转化为关于等比数列的特征量a1、q的方程是求解等比数列问题的常用方法之一，同时应注意在使 用等比数列前n项和公式时，应充分讨论公比q是否等于1;②应用定义判断数列是否是等比数列是最直接，最有依据的方法，也是通法，若判断一个数列是等比数列可用an+1an=q(常数)恒成立，也可用a2n+1 =anan+2 恒成立，若判定一个数列不是等比数列则只需举出反例即可，也可以用反证法.
【变式训练1】等比数列{an}中，a1=317，q=-12.记f(n)=a1a2an，则当f(n)最大时，n的值为()
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】an=317(-12)n-1，易知a9=31712561，a100,00，故f(9)=a1a2a9的值最大，此时n=9.故选C.
题型二 性质运用
【例2】在等比数列{an}中，a1+a6=33，a3a4=32，anan+1(nN*).
(1)求an;
(2)若Tn=lg a1+lg a2++lg an，求Tn.
【解析】(1)由等比数列的性质可知a1a6=a3a4=32，
又a1+a6=33，a1a6，解得a1=32，a6=1，
所以a6a1=132，即q5=132，所以q=12，
所以an=32(12)n-1=26-n .
(2)由等比数列的性质可知，{lg an}是等差数列，
因为lg an=lg 26-n=(6-n)lg 2，lg a1=5lg 2，
所以Tn=(lg a1+lg an)n2=n(11-n)2lg 2.
【点拨】历年高考对性质考查较多，主要是利用等积性，题目小而巧且背景不断更新，要熟练掌握.
【变式训练2】在等差数列{an}中，若a15=0，则有等式a1+a2++an=a1+a2++a29-n(n29，nN*)成立，类比上述性质，相应地在等比数列{bn}中，若b19=1，能得到什么等式?
【解析】由题设可知，如果am=0，在等差数列中有
a1+a2++an=a1+a2++a2m-1-n(n2m-1，nN*)成立，
我们知道，如果m+n=p+q，则am+an=ap+aq，
而对于等比数列{bn}，则有若m+n=p+q，则aman=apaq，
所以可以得出结论：
若bm=1，则有b1b2bn=b1b2b2m-1-n(n2m-1，nN*)成立.
在本题中则有b1b2bn=b1b2b37-n(n37，nN*).
题型三 综合运用
【例3】设数列{an}的前n 项和为Sn，其中an0，a1为常数，且-a1，Sn，an+1成等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=1-Sn，问是否存在a1，使数列{bn}为等比数列?若存在，则求出a1的值;若不存在，说明理由.
【解析】(1)由题意可得2Sn=an+1-a1.
所以当n2时，有
两式相减得an+1=3an(n2).
又a2=2S1+a1=3a1，an0，
所以{an}是以首项为a1，公比为q=3的等比数列.
所以an=a13n-1.
(2)因为Sn=a1(1-qn)1-q=-12a1+12a13n，所以bn=1-Sn=1+12a1-12a13n.
要使{bn}为等比数列，当且仅当1+12a1=0，即a1=-2，此时bn=3n.
所以{bn}是首项 为3，公比为q=3的等比数列.
所以{bn}能为等比数列，此时a1=-2.
【变式训练3】已知命题：若{an}为等 差数列，且am=a，an=b(m0，nN*)为等比数列，且bm=a，bn=b(m
【解析】n-mbnam.
总结提高
1.方程思想，即等比数列{an}中五个量a1，n，q，an，Sn，一般可知三求二，通过求和与通项两公式列方程组求解.
2.对于已知数列{an}递推公式an与Sn的混合关系式，利用公式an=Sn-Sn-1(n2)，再引入辅助数列，转化为等比数列问题求解.
3.分类讨论思想：当a10，q1或a10,00,01时，{an}为递减数列;q0时，{an}为摆动数列;q=1时，{an}为常数列.
6.4 数列求和
典例精析
题型一 错位相减法求和
【例1】求和：Sn=1a+2a2+3a3++nan.
【解 析】(1)a=1时，Sn=1+2+3++n=n(n+1)2.
(2)a1时，因为a0，
Sn=1a+2a2+3a3++nan，①
1aSn=1a2+2a3++n-1an+nan+1.②
由①-②得(1-1a)Sn=1a+1a2++1an-nan+1=1a(1-1an)1-1a-nan+1，
所以Sn=a(an-1)-n(a-1)an(a-1)2.
综上所述，Sn=
【点拨】(1)若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法;
(2)当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论;
(3)当将Sn与qSn相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号.
【变式训练1】数列{2n-32n-3}的前n项和为()
A.4-2n-12n-1 B.4+2n-72n-2 C.8-2n+12n-3 D.6-3n+22n-1
【解析】取n=1，2n-32n-3=-4.故选C.
题型二 分组并项求和法
【例2】求和Sn=1+(1+12)+(1+12+14)++(1+12+14++12n-1).
【解析】和式中第k项为ak =1+12+14++12k-1=1-(12)k1-12=2(1-12k).
所以Sn=2[(1-12)+(1-122)++(1-12n)]
= -(12+122++12n)]
=2[n-12(1-12n)1-12]=2[n-(1-12n)]=2n-2+12n-1.
【变式训练2】数列1, 1+2, 1+2+22，1+2+22+23，，1+2+22++2n-1，的前n项和为()
A.2n-1 B.n2n-n
C.2n+1-n D.2n+1-n-2
【解析】an=1+2+22++2n-1=2n-1，
Sn=(21-1)+(22-1)++(2n-1)=2n+1-n-2.故选D.
题型三 裂项相消法求和
【例3】数列{an}满足a1=8，a4=2，且an+2-2an+1+an=0 (nN*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=1n(14-an)(nN*)，Tn=b1+b2++bn(nN*)，若对任意非零自然数n，Tnm32恒成立，求m的最大整数值.
【解析】(1)由an+2-2an+1+an=0，得an+2-an+1=an+1-an，
从而可知数列{an}为等差数列，设其公差为d，则d=a4-a14-1=-2，
所以an=8+(n-1)(-2)=10-2n.
(2)bn=1n(14-an)=12n(n+2)=14(1n-1n+2)，
所以Tn=b1+b2++bn=14[(11-13)+(12-14)++(1n-1n+2)]
=14(1+12-1n+1-1n+2)=38-14(n+1)-14(n+2)m32 ，
上式对一切nN*恒成立.
所以m12-8n+1-8n+2对一切nN*恒成立.
对nN*，(12-8n+1-8n+2)min=12-81+1-81+2=163，
所以m163，故m的最大整数值为5.
【点拨】(1)若数列{an}的通项能转化为f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项相消法求和.
(2)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项.
【变式训练3】已知数列{an}，{bn}的前n项和为An，Bn，记cn=anBn+bnAn-anbn(nN*)，则数列{cn}的前10项和为()
A.A10+B10 B.A10+B102 C.A10B10 D.A10B10
【解析】n=1，c1=A1B1;n2，cn=AnBn-An-1Bn-1，即可推出{cn}的前10项和为A10B10，故选C.
总结提高
1.常用的 基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征联想相应的求和方法既是根本，也是关键.
2.数列求和实质就是求数列{Sn}的通项公式，它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练.
6.5 数列的综合应用
典例精析
题型一 函数与数列的综合问题
【例1】已知f(x)=logax(a0且a1)，设f(a1)，f(a2)，，f(an)(nN*)是首项为4，公差为2的等差数列.
(1)设a是常数，求证：{an}成等比数列;
(2)若bn=anf(an)，{bn}的前n项和是Sn，当a=2时，求Sn.
【解析】(1)f(an)=4+(n-1)2=2n+2，即logaan=2n+2，所以an=a2n+2，
所以anan-1=a2n+2a2n=a2(n2)为定值，所以{an}为等比数列.
(2)bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2，
当a=2时，bn=(2n+2) (2)2n+2=(n+1) 2n+2，
Sn=223+324+425++(n+1 ) 2n+2，
2Sn=224+325++n2n+2+(n+1)2n+3，
两式相减得
-Sn=223+24+25++2n+2-(n+1)2n+3=16+24(1-2n-1)1-2-(n+1)2n+3，
所以Sn=n2n+3.
【点拨】本例是数列与函数综合的基本题型之一，特征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解.
【变式训练1】设函数f(x)=xm+ax的导函数f(x)=2x+1，则数列{1f(n)}(nN*)的前n项和是()
A.nn+1 B.n+2n+1 C.nn+1 D.n+1n
【解析】由f(x)=mxm-1+a=2x+1得m=2，a=1.
所以f(x)=x2+x，则1f(n)=1n(n+1)=1n-1n+1.
所以Sn=1-12+12-13+13-14++1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.故选C.
题型二 数列模型实际应用问题
【例2】某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2009年底全县的绿化率已达30%，从2010年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化.
(1)设全县面积为1,2009年底绿化面积为a1=310，经过n年绿化面积为an+1，求证：an+1=45an+425;
(2)至少需要多少年(取整数)的努力，才能使全县的绿化率达到60%?
【解析】(1)证明：由已知可得an 确定后，an+1可表示为an+1=an(1-4%)+(1-an)16%，
即an+1=80%an+16%=45an+425.
(2)由an+1=45an+425有，an+1-45=45(an-45)，
又a1-45=-120，所以an+1-45=-12(45)n，即an+1=45-12(45)n，
若an+135，则有45-12(45)n35，即(45)n-112，(n-1)lg 45-lg 2，
(n-1)(2lg 2-lg 5)-lg 2，即(n-1)(3lg 2-1)-lg 2，
所以n1+lg 21-3lg 24，nN*，
所以n取最小整数为5，故至少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.
【点拨】解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题.
【变式训练2】规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以前进3步，然后再后退2步的规律进行移动.如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向，以1步的距离为1单位长移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)=0，则下列结论中错误的是()
A.P(2 006)=402 B.P(2 007)= 403
C.P(2 008)=404 D.P(2 009)=405
【解析】考查数列的应用.构造数列{Pn}，由题知P(0)=0，P(5)=1，P(10)=2，P(15)=3.所以P(2 005)=401，P(2 006)=401+1=402，P(2 007)=401+1+1=403，P(2 008)=401+
3=404，P(2 009)=404-1=403.故D错.
题型三 数列中的探索性问题
【例3】{an}，{bn}为两个数列，点M(1,2)，An(2，an)，Bn(n-1n，2n)为直角坐标平面上的点.
(1)对nN*，若点M，An，Bn在同一直线上，求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足log2Cn=a1b1+a2b2++anbna1+a2++an，其中{Cn}是第三项为8，公比为4的等比数列，求证：点列(1，b1)，(2，b2)，，(n，bn)在同一直线上，并求此直线方程.
【解析】(1)由an-22-1=2n-2n-1n-1，得an=2n.
(2)由已知有Cn=22n-3，由log2Cn的表达式可知：
2(b1+2b2++nbn)=n(n+1)(2n-3)，①
所以2[b1+2b2++(n-1)bn-1]=(n-1)n(2n-5).②
①-②得bn=3n-4，所以{bn}为等差数列.
故点列(1，b1)，(2，b2)，，(n，bn)共线，直线方程为y=3x-4.
【变式训练3】已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn(nN*).若a11，a43，S39，则通项公式an=.
【解析】本题考查二元一次不等式的整数解以及等差数列的通项公式.
由a11，a43，S39得
令x=a1，y=d得
在平面直角坐标系中画出可行域如图所示.符合要求的整数点只有(2,1)，即a1=2，d=1.所以an=2+n-1=n+1.故答案填n+1.
总结提高
1.数列模型应用问题的求解策略
(1)认真审题，准确理解题意;
(2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、前n项和公式以及性质求解，或通过探索、归纳构造递推数列求解;
(3)验证、反思结果与实际是否相符.
2.数列综合问题的求解策略
(1)数列与函数综合问题或应用数学思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列的知识求解;
(2)数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征建立数列的递推关系式，然后求解问题.
第3篇：数学算法初步的教案
数学算法初步的教案
数学算法初步的教案
一、教学目标：
1、知识与技能：
掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构；掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图。
2、过程与方法：
通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图。
3、情感态度与价值观：
通过本节的学习，使我们对程序框图有一个基本的了解；掌握算法语言的三种基本逻辑结构，明确程序框图的基本要求；认识到学习程序框图是我们学习计算机的一个基本步骤，也是我们学习计算机语言的必经之路。
二、重点与难点：
重点是程序框图的基本概念、基本图形符号和3种基本逻辑结构，难点是能综合运用这些知识正确地画出程序框图。
三、学法与教学用具：
1、通过上节学习我们知道，算法就是解决问题的步骤，在我们利
第4篇：高三数学理科教案
高三数学理科教案
高三数学理科教案
【摘要】 鉴于大家对数学网十分关注，小编在此为大家整理了此文高三数学理科教案：数学圆锥曲线与方程，供大家参考!
本文题目： 高三数学理科教案：数学圆锥曲线与方程
第九章 圆锥曲线与方程
高考导航
考试要求 重难点击 命题展望
1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;
2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;
3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质;
4.了解圆锥曲线的简单应用;
5.理解数形结合的思想;
6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 本章重点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系问题;3.求曲线的方程或曲线的轨迹;4.数形结合的思想，方程的
第5篇：数学算法初步测试题
数学算法初步测试题
一、选择题
1.看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是( ).
A.从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达
B.解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
C.方程有两个实根
D.求1+2+3+4+5的值，先算1+2=3，再算3+3=6，6+4=10，10+5=15，最终结果为15
考查目的：考查算法的概念.
答案：C.
解析：算法通常是指按照一定的规则解决某一类问题的明确的有限的步骤.
2.用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的值为( ).
A.－845 B.220 C.－57 D.34
考查目的：考查秦九韶算法的基本步骤.
答案：D.
解析：v0=3，v1=v0×(-4)+5=?7，v2=v1×(-4)+6=34.
3.下列给出的赋值语句中正确的是( ).
A.3=A B.
第6篇：高三数学(理科)二轮复习不等式
2014届高三数学第二轮复习
第3讲 不等式
一、本章知识结构：
实数的性质
二、高考要求
（1）理解不等式的性质及其证明。
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。
（3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
（4）掌握某些简单不等式的解法。
（5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。
三、热点分析
1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注.2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设
第7篇：高三理科复习计划书
高三理科复习计划书
导语：目标不是什么花瓶，你需要制定计划，脚踏实地、有步骤地去实现它。通过计划合理安排时间和任务，使自己达到目标，也使自己明确每一个任务的目的。下面和小编来看看高三理科复习计划书。希望对大家有所帮助。
高三理科复习计划书 篇1
把高三的复习计划分为三大阶段。每个阶段有不同的任务、不同的目标和不同的学习方法。
第一阶段，是整个高三第一学期时间。这个阶段时间大约五个月，约占整个高三复习的一半时间左右。这高三文科复习四忌
一忌抛开考纲，盲目复习。高考各科都有《考试说明》，学生首先应该依据《考试说明》，明确高考的考查范围和重点内容，再有针对性地进行复习。
二忌急于求成，忽视小题。有些学生认为文科需要背诵的知识点太多，而在高考中基础知识题的分值不高，所以索性就放弃了。他们不知道解决好基础知识，正是
第8篇：高三理科复习计划书
高三理科复习计划书
导语：目标不是什么花瓶，你需要制定计划，脚踏实地、有步骤地去实现它。通过计划合理安排时间和任务，使自己达到目标，也使自己明确每一个任务的目的。下面和小编来看看高三理科复习计划书。希望对大家有所帮助。
语文：
有几个字值得你记住：厚积薄发
语文复习，我最深的体会就是一定要坚持养成有规律的练习习惯。语文是厚积薄发的科目，只有平时坚持复习，考试成绩才可能慢慢提高。
语文作文
应该自己平时就有写随笔的习惯，在考前两个月更是有针对性地做一些作文训练。和同学们常常找一些新闻、名人事迹类的材料，然后把大意写下来，自己提炼一些观点或者写写想法。写好后，同学之间互相交换，在别人的材料后面补充一些自己的东西。这样每一则材料既有比较鲜活的例子，又综合了各个同学的观点，思路开阔，内涵丰富，有助于提高自己的作文
