教师资格技能考试教案_教师资格考试技能测试

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§2.4.1 隐函数的导数

本节课内容是由赵利彬主编的经管类《高等数学》（上册）第二章第四节第一课时隐函数导数。这部分内容在课本第82页至85页。

一、教材分析、教学目的的确定：

本节是在导数的概念及求导法则的基础上，继续探讨隐函数的求导法则，是对前面所学内容的深化，综合性强，方法灵活，又下面学习微分概念提供了必要的准备。根据以上分析，确定本节课的教学目标为：

会求隐函数的一阶、二阶导数。会求幂指函数的导数。帮助学生理解数学思想、明晰数学方法、建立数学思维。

教学重点：1.隐函数的定义；2.隐函数的求导；3.幂指函数化隐函数求导

二、教法、学法分析

教学有法，教无定法，贵在得法。通过提出问题、分析问题、解决问题，让学生掌握重点知识。通过举例、练习加深理解知识，突破难点，提高应用知识的能力。整个教学过程，交叉使用启发式、讨论式、自学式等多种教学方法，注意因材施教，循序渐进。

三、教学过程设计： 根据“循序渐进原则”，我把这次课分为四个阶段：问题提出----方法及例题讲解---课堂练习---归纳总结。

问题提出--思维从疑问开始，问题的提出使学生的思维得以启动，符合教学论中的激发性原则；什么是隐函数？概念让学生自己去总结。

方法及例题的讲解---使学生从感性上理解，在逐步上升到理性认识，帮助学生理解新知识，题目让学生自己去解决。

课堂练习---巩固所学，加深理解，便于及时发现问题，当堂纠正；

归纳总结---完成了本节课的教学内容后，在教师的引导下，师生共同归纳总结，使学生清晰的留下思维的痕迹，调动学生学习积极性和主动的参与意识。在此过程中，规律让学生自己去探索。

三、课堂教学手段：

讲练结合,提高学生学习兴趣和动手能力；恰当使用现代化教学手段，充分发挥其快捷、生动、形象的辅助作用，最大限度地使学生获得并掌握所学的知识。

四、教学过程：

1、隐函数的定义

显函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如ysin x  yln x+e x 

隐函数 由方程F(x y)0所确定的函数称为隐函数

把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化

例如 方程xy3 10确定的隐函数为y31x

如果在方程F(x y)0中 当x取某区间内的任一值时 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在 那么就说方程F(x y)0在该区间内确定了一个隐函数

2、隐函数的导数

在实际问题中 有时需要计算隐函数的导数 因此 我们希望有一种方法 不管隐函数能否显化 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来

例1．求由方程e yxye0 所确定的隐函数y的导数

解 把方程两边的每一项对x 求导数得(e y)(xy)(e)(0)

即 e y yyxy0 从而 yy y

(xe0)

xey 练习．求由方程y52yx3x70 所确定的隐函数yf(x)在 x0处的导数y|x0

解 把方程两边分别对x求导数得5yy2y121x 60

x

由此得y1215y426x6|1

因为当x0时 从原方程得y0 所以 y|x01215y42x022y2x 例2 求椭圆1在(2, 33)处的切线方程

1692 解 把椭圆方程的两边分别对x求导 得 x2yy0 从而y9x

8916y 当x2时 y33 代入上式得所求切线的斜率ky|x23 所求的切线方程为y333(x2) 即3x4y830 练习．求由方程xy1siny0所确定的隐函数y 2的二阶导数

解 方程两边对x求导 得 1dy1dydy2cosy0 于是 

dx2dxdx2cosy2sinydydx4siny

上式两边再对x求导 得 2dx(2cosy)2(2cosy)3d2y3、幂指函数求导

例5．求yx sin x(x>0)的导数

解法一 利用隐函数求导--化对数式 两边取对数 得ln ysin x  ln x

上式两边对x 求导 得1ycosxlnxsinx1

yx于是yy(cosxlnxsinx1)xsinx(cosxlnxsinx)

xx解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 利用复合函数求导--化指数式

ln x yx sin xe sin x· yesinxlnx(sinxlnx)xsinx(cosxlnxsinx)

x利用复合函数求导--化指数式

对数求导法 这种方法是先在yf(x)的两边取对数 然后再求出y的导数

设yf(x) 两边取对数 得ln y  ln f(x)

两边对x 求导 得 1y[lnf(x)]

y f(x)[ln f(x)]

y对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数

练习 求函数y(x1)(x2)的导数

(x3)(x4)解 先在两边取对数(假定x>4) 得ln y1[ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)]

2上式两边对x求导 得1y1(1111)

y2x1x2x3x4y于是 y(1111)

2x1x2x3x4当x

(3x)(4x)(3x)(4x)用同样方法可得与上面相同的结果

注 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的

4.归纳小结：我们这节课学习了内容？师生共同总结。5.作业：P87，1（1），2（3），4（3）

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