华南理工大学高等数学教学课件8_华工高数课件精品

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第八节

连续函数

一、函数连续的定义。

定义1：如果函数fx在x0的一个邻域内有定义。当自变量的增量x趋近零时，函数增量y也趋近于零。即

x0limylimfx0xfx00

x0则称函数fx在x0处连续。

因为xxx0，当x0时，有xx0。因此我们有：

x0limylimfx0xfx0limfxfx00

x0xx0xx0limfxlimfxfx0fx0fx0

xx0fxfx0。则有： 反之，如果有xlimx0x0limylimfx0xfx0limfxfx00

x0xx0因此对于函数的连续性还有以下定义：

定义2：如果函数fx在x0的一个邻域内有定义。当x趋近x0时，fxfx0。函数fx的极限为fx0。即xlim则称函数fx在点x0连续。x0我们还可以用“”语言来定义连续。

定义3：如果函数fx在x0的一个邻域内有定义。对于任给的0，一定存在0。当时xx0有

fxfx0

则称函数fx在点x0处连续。

定义4：如果函数fx在开区间I内每一点处都连续，则称函数是开区间I上的连续函数，并称开区间I是fx的连续区间。如果函数fx在一闭区间a,b上有定义，因此函数fx在a和b处分别只可能存在右极限和左极限。此时如果

falimfxfafblimfxfb 或xaxb则分别称函数fx在a或b处连续。

定义5：（左连续和右连续）如果函数fx在x0的一个左半邻域内（右半邻域内）有定义。如果

fx0limfxfx0（或fx0limfxfx0 xx0xx0则称函数fx在点x0左连续（或右连续）。

注：函数在一点连续的充分必要条件为在此点左连续且右连续。

例1 ：证明 函数fxsinx在其定义域,内是连续的。证明 ：因为

ysinxxsinx2sinxxcosx 220y2sinxxxcosx2sinx 222limy0。即函数fxsinx在其定义域利用夹逼准则有，x0,内是连续的。

x1axb例2 ：fx2，问a,b取何值时，fx在x1和x2x2x1x1处连续。

解：要使fx在x1和x1处连续，则要有

limfxf1ab，limfxf1ab

x1x1利用连续与左连续、右连续的关系

limfxlimfxlimfxab x1x1x1x1limfxlimfxlimfxab

x1x1得方程组

1ab 3ab解得a2,b1。

二、连续函数运算性质

定理1：

1）有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。2）有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。3）两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。我们证明3）。

fxfx0,limgxgx00，证明 ：已知xlim则milxxx00xx0fxfx0。gxgx0利用极限的除法运算法则得

limfxfxfxxx00 limxx0gxlimgxgx0xx0注：正切和余切函数在其定于域上是连续的。

定理2：如果函数x在x0处连续，且x0u0，函数fu在u0处连续，则复合函数fx在x0处连续。

fufu0,limxx0，利用复合函数求极限证明：因为ulimuxx00法则

limfxflimxfx0 xx0xx0

定理3：（反函数的连续性）设yfx在a,b上连续，且严格单调增（或减），记faA,fbB。则

1）yfx在区间A,B（或B,A）上存在反函数xgy； 2）xgy在区间A,B（或B,A）上严格单调增（或减）； 3）xgy在区间A,B（或B,A）上连续。

证明：1）要说明对每一个yA,B（或yB,A）都有唯一的（这样用到闭区间上连续函数的性质，以后xa,b，使得fxy。再证明）

2）若y1,y2B,A，且y1y2。如果x1gy1x2gy2 由于yfx严格单调减y1fx1y2fx2，这与已知矛盾。所以x1gy1x2gy2，即xgy在B,A上严格单调减。

gygy0 3）对任给的y0B,A，我们要证明ylimy0对任给的0，要使xx0当充分小时，去掉绝对值后有

ax0xx0b

设y1fx0,y2fx0，由单调性（严格单调减）有

y2yy1

y2y0yy0y1y0

因为x0x0x0，由单调性（严格单调减）有y2y0y1 所以y2y00,y1y00。取miny0y2,y1y0，当yy0时有

y2y0yy0y1y0

y2yy1 由xgy的单调性（严格单调减）有

x0xx0

xx0

gygy0。所以ylimy0在端点处只需考虑半个邻域，证明类似。这里从略。注：反三角函数在其定义域上是连续的。定理4：初等函数在其定义区间上是连续的。

三、函数的间断点

函数fx在x0的某去心邻域有定义，但在x0点不连续。主要有下面三种情况： 1）2）3）函数fx在x0点处无定义。

fx不存在。函数fx在x0点处有定义，但xlimx0fx存在，但limfx不等函数fx在x0点处有定义，且xlimxxx00于fx0。

例3 ：考虑函数fxx0x0在x0处的连续性。x0解：fx在x0处无定义。所以不连续。（如图17）

1例4 ：考虑符号函数sgnx01x0x0在x0处的连续性。x0sgnx不存在。所以不连续。解：lim（如图18）x0x例5 ：考虑函数fx3x0在x0处的连续性。x0fx0f03。所以不连续。解：因为lim（如图19）x0以上所给的例子函数虽在x0处不连续，但在x0处的左极限和右极限都存在。这类不连续点称为第一类间断点。其他情况称为第二类间断点。

例6 ：因为limtanx,所以xx22是函数ytanx的间断点。（无穷间断点）（如图20）

sin，所以x0是函数ysin的间断点。例7 ：因为lim（振荡间x01x1x断点）（如图21）

四、闭区间上连续函数的性质

1、最大值何最小值定理。

定义1：函数fx在开区间I上有定义，如果存在x0I使得对一切xI都有

fxfx0

（或fxfx0）

则称fx0是函数fx在开区间I上的最大值（或最小值）。

定理1：（最大值与最小值定理）如果函数fx在闭区间a,b上连续，则存在x1,x2a,b使得对任意的xa,b都有fx1fxfx2。

证明 ：略。

定理2：若函数fx在闭区间a,b上连续，则函数fx在闭区间a,b上必有界。

证明 ：因为函数fx在闭区间a,b上连续，由定理1，存在x1,x2a,b使得对任意的xa,b都有fx1fxfx2，即fx在a ,b上既有上界又有下界，所以函数fx在闭区间a,b上必有界。

2、介值定理

定理3：（零点定理）若函数fx在闭区间a,b上连续，且fafb0，则在开区间a,b内至少存在一点使得f0。

证明 ：略。

例8：证明方程exx有小于1的正实跟。

证明：在闭区间0,1考虑函数fxexx，fxexx是初等函数且在0,1有定义，因此fxexx在闭区间0,1连续。

又因为f010,f110，由零点定理，方程exx有小于1的正实跟。

1e定理4：（介值定理）设函数fx在闭区间a,b上连续，又faA，fbB，且AB。若C是A,B之间任一实数，则在开区间a,b至少存在一点，使得

fCab

证明：考察函数xfxC，显然函数x在闭区间a,b上连续，且a0,b0；根据零值定理，在开区间a,b至少存在一点使得0即有

fCab

推论：设函数fx在闭区间a,b上连续，M,m分别为函数fx在闭区间a,b上的最大值与最小值，则对于M,m之间的任意实数u，在开区间a,b至少存在一点使得fuab。

证明：设fx1M,fx2m，无妨设x1x2，则有x1,x2a,b 因此fx在x1,x2是连续的。由介值定理，对于M,m之间的任意实数u，至少存在一点

x1,x2a,b

使得fu。

注：如果yfx在a,b上连续，且严格单调增（或减），记faA,fbB。则A,B就是最大值和最小值，因此A,B之间的任何数y，都存在xa,b有fxy。由单调性可得唯一性。

fx存在，例9：若fx在区间[a,)上连续，且xlim试证明fx是区间 [a,)上的有界函数。

例10：证明：证明：方程xasinxba0,b0至少有一个正根，并且不超过ab。

例11：若函数fx在闭区间a,b上连续，acdb，kfcfd，证明存在一个a,b，使得k2f。

作业1：习题1-8：1题：

2、3小题；2题：3、4、6小题；3题：3小题

作业2：4题：1、4、6小题；12题；13题。

华南理工大学高等数学教学课件7

第三节 函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限定义 ：设函数fx当x大于某一个正数时有定义，如果对于任意给定的0（任意小）总存在正数X，当xX时，一定有fxA那么常数A称为函数fx当x......

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第二节 数列极限一、整标函数与数列 ①积分学的基本思想高等数学的主要内容就是微积分学。积分学和微分学原是数学领域两个不同的分支。积分学的起源要早于微分学，它起源于计......

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