对“数学归纳法”的教学反思由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数学归纳法的教学反思”。
教学有“度”
──对“数学归纳法”的教学反思
浙江省黄岩中学 李柏青
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在课题会上开研究课，在备课、上课以及评课等环节，感触良多，获益良多.下面就本节课教学过程中的得失谈谈对教学中“度”的把握.一.数学理解要有“深广度”
对数学本质的理解是教学设计质量的根本保证.在对数学归纳法理解时有几点是需
要明确的.1.审视数学归纳法的逻辑基础
数学归纳法解决的是与正整数有关的命题P(n)为真的证明问题.要证明的论断可能有很多来源，归纳只是其中重要一种，但对证明来说，来源是什么并不重要.数学归纳法证题的核心是递推思想，通过递推实现从有限到无限的证明.其最简单的一种叙述方式为（1）“1”对；（2）若“k”对，则“k+1”对.那么就有1对2对
3对4对5对...,所有的正整数n都对.由1对，2对，3对，4对，5对，„,就得到所有的正整数n都对，这种推理在逻辑上是不可靠的.根据数学归纳法的两个步骤，得到1对2对3对4对5对...,这一
无休止的推理，也不算是一种严格的论证.数学归纳法的产生本就是数学家理性精神的体现，其依据就是 “皮亚诺公理”第五条。从高中学生的认知程度看，通过这个动态的递推过程，数学归纳法的“可靠性”是自然直观明了的,这源于学生对“正整数”特点的潜在认识.中学教学不必过于深究其形式上的逻辑基础，而重在理解数学归纳法的思想及其来龙去脉，这需要通过丰富而又形象的案例给学生的思维插上“想象”的翅膀.2.从算法的角度看数学归纳法
算法是为解决某一类问题的一系列明确而有限的步骤,算法思想在数学研究中有着十分普及而重要的作用.在对与正整数有关的命题p(n)的证明中发现，通过一一验证不能有效地实现证明.但在证明一类相邻两个命题P(k)与P(k+1)之间具有递推关系的命题时（以递推数列求项的命题为例），要证明对命题p(n)为真，可以转化为下列有序的步
骤(#)：
第一步,证明：p(1)真；
第二步,证明：若p(1)真，则p(2)真； 第三步,证明：若p(2)真，则p(3)真； 第四步,证明：若p(3)真，则p(4)真；
„
第m步,证明：若p(m-1)真，则p(m)真；
...这一系列的证明方法源于命题自身所具有的递推关系，靠的是一一验证.从理论上讲，靠一一验证可以实现n取某一具体的值m时命题为真的证明,即使m充分大，一一验证的做法只是不想为而非不能为.但对无限多个命题，靠一一验证却是无能为力的.从算法的角度看，这一证明方法有两点需要解决：
（1）有限与无限
要认识无限，需要通过有限来作阶梯的.孩提时代对大数充满向往，了解了百之后有千，千之后有万，万之后有亿，...,但长大后却放弃了追寻，因为理性告诉我们任一个正整数的后面还有比它更大的数，就因为“k”以后还有“k+1”的存在，要找到最大的数确实无能为力.这也许是我们第一次感受到了“无限”的存在.要研究无限，往往需要将无限转化为有限去把握.在中学的学习阶段，有很多这样的例子：如几何中线面垂直的定义和判定定理，就是将直线与平面内所有（无限）直线垂直转化为与平面内的任意一条（有限）直线垂直，或与平面内两条相交直线（有限）垂直.再如代数中函数单调性的定义，将单调区间中自变量的任意取值（无限多个）转化为取任意两个值（有限）来比较其函数值的大小.因此，要证当n取所有正整数时，命题P(1),P(2),P(3),„（无限）都成立，可以寻求这些命题的共性，转化为去证明一个具有代表性的命题P(m)，其中m是一个字母，是任意一个正整数的代表.（2）“以此类推”与“明确的步骤”
由于m是不确定的一个整数，推导过程中间步骤的“...”还是不够明确而可操作的.但这些步骤又有“重复循环”和“以此类推”的感觉，教师可以引导学生观察分析明确每一步证明的共同特点，通过引进字母“k”，寻求用一个具有代表性的命题的证明来代替无数多个命题的证明，以实现无限步骤向有限步骤的转化.通过抽象概括提炼，可将步骤中的这些命题的证明问题转化为证明以下两个命题：
（ⅰ）证明：p(1)真；
（ⅱ）证明：若p(k)真，则p(k+1)真；
如果允许k取｛1，2，3，„,m-1｝中的任一个数时命题（ⅱ）都成立，就可实现由“p(1)真”递推到命题“p(m)真”，如果允许k取N中的任一个数时命题（ⅱ）都成立，则就可进一步实现由“p(1)真”递推到任意一个命题“P(n)真”，从而推出所有
正整数n都满足命题P.3.数学归纳法证题是一种模式
数学归纳法是一种证明方法，其特殊的解题格式与一般证明方法相比更呈现出模式
化的特点.将步骤(#)图式化：
*
（图1）
上述特征可抽象概括为“［(P(1)真)∧(P(k)真→P(k+1)真)］→P(n)(nN+)真”，而这一模式不仅在数学问题中大量存在（如递推数列求项等），在生活中也有着丰富的实例.如多米诺骨牌游戏可概括为模式“［（第一张牌倒下）∧（若第k张牌倒下，则第k+1张牌倒下）］→所有牌都倒下”
如准确传话的游戏可概括为模式“[(第一个人得到正确的信息）∧(任意相邻两个人，某人得到正确信息后能准确地传递给下一个人）］→所有的人都能得到正确的信息”.作为模式的教学，关键是让学生接触丰富的实例，通过不同的生活模型以及具体的数学模型感悟到实例背后共同的特征，并用生活化的语言加以描述，用图式化的语言加以提炼，用数学化的符号语言加以刻划.基于这种考虑，本人在教学设计中课前放“多米诺骨牌游戏”，并从中得到“经验”确定本课的提问方式“每次由某一位同学回答后，将话筒传给下一位同学回答”，再在递推数列求通项以及例题中对等式的探求等数学问题中多次用了图（1）这样一种直观的图式，在递推证明的过程中抽象概括出两个步骤，意图使学生能对这一模式事先有感悟、过程有参与、事后有升华.4.对数学归纳法中的两步骤的认识
数学归纳法的核心是递推思想，而第二步即是递推的依据.但第二步离不开第一步的奠基作用，只有验证了第一步，第二步的归纳假设才真正有了生命！两个步骤相互作
用，是不可分割的整体.数学归纳法实质上是将无数多个命题的证明通过高度的抽象概括等价转化为两个步骤（亦即两个命题）的证明.而第二步的证明其实是对命题“若k对，则k+1对”的证明，其已知条件是n=k时的结论，而要证的目标是n=k+1时的结论.从整体看这一步骤在证明中的作用，它解决的是命题P(k)与P(k+1)之间真值的传递性，而不在于命题
P(k)或P(k+1)自身的真假.第二步中的“k”，相对n是一个常量，是变量n的某一个取值.而在整体动态的递推过程中，k可以是1，2，3，4，„中的任一个值，从这意义上说，k是一个可以变化的常量.第二步的“假设”，一方面因为对n=k时的命题并没有去验证，但只要有了归纳奠基，那么第二步中的归纳假设就可成为现实.因此假设具有其必要性和合理性.二.目标定位应有“高度和准度 ”
数学课堂的教学目标不仅落实在对数学知识的理解和掌握上，更突出在知识获得中的过程与方法，定位在以数学核心知识为载体的思想和方法的领悟上.《数学归纳法》的目标定位是让学生理解数学归纳法的“思想精髓”，而不仅仅是数学归纳法的解题程式.要达成这一知识上的目标，就需要有学习的过程与方法的感悟，态度与情感的投入.要做到这一点，教学的着力点是：
1.通过递推数列求通项这一具体问题让学生体会到猜想得到的结论难以一一验证，从而产生引进数学归纳法的必要性，激发学生对问题的探究热情和理性的思考.2.通过一些生活情景及图式直观的设置渗透递推的思想,让学生在数学问题的解决
中有所感悟和启发；
3.在对递推数列求待定项的过程中，概括提炼出这些证明的共同模式，从而渗透算法思想，提高学生的化简意识和抽象概括的能力.4.通过让学生举出能反映数学归纳法原理的实际情景，解决简单的等式问题的证明等措施，使学生在练习和反思中内化对数学归纳法的理解.三.教材处理要有“灵活度”
人教A版数学选修2-2的教材在对数学归纳法知识的呈现过程应是非常到位和有层
次的：
1.“问题”：教材通过对递推数列进行归纳猜想得数列的通项公式，一一验证不可能实现，由此提出需要“另辟蹊径”，寻求一种能用有限个步骤的推理证明
n取所有正整数都成立的数学方法.2.“经验”：引入多米诺骨牌游戏，引导学生思考多米诺骨牌倒下的条件.3.“ 类比”：类比多米诺骨牌倒下的条件，思考数列通项公式证明的方法, 4.“概括”：通过生活化的模型以及具体数学问题的例证，抽象概括出数学归纳法
证题的一般模式.5.“应用”：通过例题，加深对数学归纳法的理解，会用数学归纳法证明一些简单的数学问题.在具体教学时，尊重教材，但也不必拘泥于教材.一方面需要把教材的学术形态转化为教学形态。另一方面还须针对不同层次的学生作相应灵活的处理：
1.对多米诺骨牌的运用
多米诺骨牌倒下的两个条件与数学归纳法的两个步骤确实是严丝合逢，在传统的教学中，多米诺骨牌往往成了数学归纳法的代名词.让学生通过多米诺骨牌的观察感悟，再类比生成数学归纳法，成了数学归纳法教学的唯一选择.笔者以为多米诺骨牌的运用也可根据学生的能力作不同的处理.如果学生的概括能力强，抽象思维能力高，可以作以下处理：
（1）在课前用多媒体播放多米诺骨牌游戏，只启不发，让学生有所感悟；（2）鼓励学生将递推数列求项的一步步的求解过程概括为有限的、有代表性的步骤；（3）对比数学方法与多米诺骨牌游戏规则寻求它们的共同特点，从而抽象概括出数
学归纳法的证题模式；
（4）再以此数学思想为指向，解决简单的数学问题，并尝试寻求在生活中能反映数学归纳法原理的生活情景与之作类比，其实学生可举出更多生活情景和其他学科的背景
材料，相应成趣.如学生就举出了很多此类的例子
森林大火：有一棵树着火了，而如果某一棵树着火，会引起它相邻的下一棵树着火，那么整个森林的无数树都会着火.（由此可解释防火的要诀是杜绝火源和通过防护带切
断火的传递)烽火传递：第一个烽火台点火，如果能保证某个烽火台点火，下一个烽火台也要点
火，那么所有的烽火台都会点火.波的传递：振源得到能量，将能量传递给下一质点，而每一个质点得到能量后，它就会将能量传给与它相邻的下一个质点，在理想状态下，能量就会这样不断地被传递下
去.还有象推倒一排自行车、队列报数等，虽然这些例子不一定非常合适和准确，但它使学生能够联系生活和物理等相关学科，体会到其中所共有的递推思想，更好地促进学生从数学的角度深入思考的能力和信心，对学生形成良好的知识结构是很有益处的.2.对引例的分析和运用
教材给出数列:，求出前四项并归纳猜想出通项公式，提
出猜想需要证明的问题.本题取自“2.2.1合情推理 例1”，在笔者所在实验班教学时，学生并没有觉得对此猜想的证明需要“另辟蹊径”，其证法如下：
.如果单纯为了这个问题的证明，在此放手让学生去解决，其实并没有使学生生“惑”，同时势必会造成教学时间的不必要损耗.本课的重点不在“猜”，也不在“验证”，而在数学归纳法的证题思想的“起源”“形成”“确认”“应用”.但从学生的学习角度看，“猜想”中可以发现问题，“验证”中可以领悟方法，通过对具体问题的“归纳—猜想—证明”可以更好让学生体会发现问题的全过程.而原例题简单明了，只要教师引导得当，就是认识数学归纳法递推思
想的一个很好的载体.教学中让学生在一一验证中体会由“k”到“k+1”递推的过程以及一一验证的“繁”和“难”，再引导学生在验证过程中发现共同规律，通过抽象概括实现由“繁”到“简”的转化，由“无限步”到“有限步”的转化，进一步形成证题的一般模式，接着通过想象和思索，感悟“有限”到“无限”的递推过程：
（1）先求（2）再求（3）再求通项，一一验证“易”，体验成功；，猜测需要证明，一一验证“繁”，能做却不想做；，猜测需要证明，一一验证“难”，想做却不能做.（4）让学生感受到一一验证的优劣，分析由递推公式验证每一项时的步
骤特点：
..；
即 第一步证明： 第二步证明：若=1，则 ；
第三步证明：若
„，则 ；
以此类推，直到
第100步证明：若，则
（5）分析这些证明步骤的共同特点，能否将上述100个步骤的证明进行简化？转化为去证明一个或若干个有代表性的命题进行证明呢？
第一步证明：
； 第二步证明：若，则.（6）有了上述两个命题的证明，你能保证
么？
一定成立吗？为什（7）证明了，你能证明吗？能证明吗？
靠的是什么？
（8）你能推出数列的任意一项都成立吗？依据的是什么？为什么？
（9）前面给大家展示了多米诺骨牌游戏，要使所有的多米诺骨牌倒下，你认为需要定出几条规则？
（10）比较多米诺骨牌的游戏规则和我们对递推数列通项公式的证明步骤，你能概括出它们共同的特征吗？
（11）你能用这种方法证明一个与自然数有关的结论吗？如等差数列的通
项公式.（12）你能在生活情景找到一些能反映数学归纳法原理的实际例子吗？
四.资源运用须有“准适度”
在教学设计时需要精心的预设，在课堂生成时才能有效利用资源，而对资源的把握
和利用需要“准适度”.在数学归纳法教学设计时，可以利用或产生的资源十分丰富.笔者以为对有效的资源利用，可以有以下的处理方法：渗透，追问，引导，自主，告诉等.1.渗透
对一些方法论层面的知识，在教学中以渗透为主,感悟为先.笔者在课前的设计中，播放多米诺骨牌，并从多米诺骨牌的传递性中引出课堂提问的方式：教师只叫第一位同学回答，假若第一位同学回答后，要求将话筒传给第二位同学回答，第二位同学回答后，要求将话筒传给第三位同学回答，第三位同学回答后，要求将话筒传给第四位同学回答，以此类推,„,并将这些结构用一种图式直观来呈现，这种不露痕迹的教学处理，使学生在无“声”中或多或少地感悟到数学归纳法的内涵，在数学问题的解决过程中有所启示,更有益于学生创新思维的培养.在“4W”法(Where?Why?What?How?)的引入中，作为“证明方法”的最后一节课的学习，有必要对学生进行明确的学法指导.但在课前直接提出“4W”法,确实值得商榷.更好地做法还是在课堂各环节无声地渗透，再在总结反思时明确提出.2.追问
课堂中学生的问答，是课堂中生成的宝贵资源.对于其中的关键性问答，需要教师能敏锐地抓住追问的时机，通过追问使学生的思维过程得以展示，并促使学生更理智地、更深入地思考.在这一点上，本节课的教学确实留下来很多的遗憾.如
课堂片断：
师：一一验证难以实现无限多个命题的证明，谁有想法能解决这一问题呢？
生1（自告奋勇）：将代入得到.师：请同学们思考，这位同学证明了怎样的命题？
众生：由第n项成立，推出第n+1项为真.师：但第n项还没证啊?
生2：用假设.师：假设第n项成立，得到第n+1项成立.由此，你是否就能证明所有项都成立呢？ 生众：因为第一项是真的.所以第二项也是成立的，又由第二项是成立的，推出„
„
反思这一教学过程，教师说得过多，交流并没能给学生得到深入思考和充分表达的机会：
生1的想法初步触及到了数学归纳法的核心.但他是怎样想到的呢？
要证明的目标是“”成立，为什么又要设“”成立呢？
为什么有了成立，还要去证明？
“”是通项还是某一项？(用k而不用n,目的是为了分清常量与变量)生2很自然地想到对未知的第n项成立可先用“假设”，但为什么可以用“假设”作为已知条件呢？“假设”的条件能成立吗？为什么有了第一项成立，就能证明所有项
都为真呢？
在教学的重、难点处，不断地拷问学生,给学生思考和说话的时间和机会，才能使教
学更深入、更有效.当然，课堂时间有限，教学处理的手段应是灵活丰富的.如围绕重点需要教师适当的引导.关键点处（如对一一验证中无数多个命题的证明，将其概括转化为一个有代表性的命题）需要给学生充分的自主时间，而有些知识（如能用数学归纳法证明的是哪些
数学问题）教师直接告之即可.在备课和评课中，得到了很多老师的指点、帮助和鼓励，都使我获益良多.再一次
对与会老师的帮助表示衷心的感谢.
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