两角和与差的三角函数 解斜三角形 三角变换中的最值问题 教案由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“两角和差三角函数复习”。
两角和与差的三角函数，解斜三角形·三角变换中的最值问题·教案
北京市第一七一中学 许绮菲
教学目标
1．复习、巩固和、差、倍、半角公式，使学生能够熟练运用公式解决典型的三角函数式的最值问题． 2．在学生掌握三角函数式最值的基本求解方法的基础上，引导学生在解决最值应用问题时，会引入角做变量列出目标函数，借助繁多的三角公式求解函数最值．
3．在教学过程中突出三角函数式与代数式的相互转化，训练学生灵活选择代数与三角变换两种工具，渗透“转化”数学思想．
教学重点与难点
重点是教会学生把三角函数式最值问题转化为代数式的最值问题，同时能够利用三角变换知识解决代数式的最值问题，恰当选取方法解决问题．
难点是培养学生利用三角变换工具解决问题的意识，体现三角变换的工具性．讲授难点是引导学生全面分析题目，恰当选取变量，正确列出较易求最值的目标函数．
教学过程设计
师：我们已经学过了和、差、倍、半角公式，深感三角公式繁多，变换多端，同时三角函数还具有单调性及有界性．今天我们来共同探讨三角变换中的最值问题．首先我请一位同学回答代数式的最值问题有哪些基本求解方法．
生：有利用函数单调性的方法，如最常用的二次函数法、复合函数法、分离变量法、方程法、换元法等． 师：这位同学回答很好．我们在学习三角函数式的最值问题时也希望大家注意总结方法．下面让我们看第一个例题．
例1 求y=cos2x+6cosx+5的最大、最小值．
分析：这个函数式变量形式不统一，我们首先要设法统一变量再求其最值． 生：可以利用倍角公式统一变量，转化为二次函数求解．
因为cosx∈[-1，1]，所以ymax=12，ymin=0．
师：这个题目我们借助二次函数这一工具求最值，注意到了代数与三角变换间的沟通．下面我们看例2． 例2 求函数y=sinx+cosx+sinx·cosx+1的最大值与最小值． 生：这个题目既有“sinx”又有“cosx”，若用sin2x+cos2x=1求解，会出现根式，所以考虑把角度取半使其次数升高．
解
y=sinx·（1+cosx）+1+cosx =（1+cosx）·（1+sinx）
师：这位同学为了不出现根式而把角度减半以达到升次的目的，很好．但若把题目改为y=sinx+cosx+3sinxcosx+1，这样能否可行？对例2有没有更具有普遍意义的做法？
生：观察到（sinx+cosx）2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，故联
函数求解．于是得到例2的又一解法． 解
师：这位同学的解法更具有普遍意义，特别值得表扬的是这位同学在换元时注意到了等价性，即求出了t的取值范围．下面我们看例3．
例3 已知x2+y2=1，求u=3x+4y的值域．
分析：这个题目是代数式的最值问题，若用代数方法求解，要首先统一变元，这样就会出现根式，运算不够简洁．观察到x2+y2=1这一制约条件，联想到sin2x+cos2x=1，可令x=cosα，y=sinα．进行三角换元，利用三角公式求最值．
解 令x=cosα，y=sinα．则
所以u∈[-5，5]．
下面我们做三个练习：
练习1 已知x2+y2=4，求μ=3x+4y的值域．
（分别请三位同学板演．）
解1 令x=2cosα，y=2sinα，则
所以μ∈[-10，10]．
师：这三位同学都注意到所求函数的定义域，利用三角换元求解最值．一般来说，利用三角换元求解y=f（x）的最值问题的步骤为：1°求函数y=f（x）的定义域；2°根据求出的定义域设计换元，注意换元后给出一个能够保证其值域充满给定函数y=f（x）的定义域的新变量的最小取值范围，如练习2中要求x∈[-1，1]，令x=sinα后给出α∈
取值范围；3°利用三角公式求函数的最值．
利用换元法求最值不仅限于把变量x换为sinα或cosα，还可以换元为tanα，cotα等，要依所给函数而定；三角换元也未必只在代数式
函数转化为代数式求解，在求解最值问题时要恰当选取代数与三角两种工具，并能互相转化． 以上我们研究了函数式的最值问题，下面我们看几个最值应用问题，探讨如何利用三角这一工具解决问题． 例4 欲在半圆形铁皮（如图1）截取矩形，如何截取利用率最高．（半径为R）
分析：矩形ABCD的面积取决于CD的位置，而CD∥AB，故C点位置一旦取定，则D点位置也随之而定．C点在圆周上，连结圆心O与C点，则∠COB的大小便确定了C点的位置，故引入∠COB作为变量写出目标函数．
解
S=Rsinα·2Rcosα=R2sin2α，利用三角变换解最值应用问题的一般步骤是：1°全面分析题目，选择恰当的自变量；2°列出目标函数，确定自变量取值范围；3°利用三角变换公式求最值．
若我们把半圆形铁皮改为扇形铁皮，如何求解呢？请同学们练习．
练习4 在半径为R，中心角为α的扇形铁皮中（如图2）截取矩形，何时利用率最高．
（此题可利用正弦定理，即△ABC中，A，B，C为三内角，a，（给出时间让学生独立思考，请学生回答．）
生：与例4相似的有矩形ABCD面积由CD位置决定，CD∥AB，C点位置决定了矩形ABCD的面积，而∠COB的大小决定了C点位置．故引入∠COB为变量．这个题目与例4的区别在于目标函数较例4复杂．
解 设∠COB=θ，θ∈（0，α）．
在Rt△COB中，|BC|=Rsinθ，在△COD中，∠CDO=π-α，∠DOC=α-θ，由正弦定理，师：四个题目还可以略加改动．
练习5在中心角为α半径为R的扇形中如图截取矩形（如图3），何时利用率最高．
请同学们课下解决，并且总结这类有动点在圆周上的题目的解法． 下面我们再看一个例题：
例5 边长为α的正三角形ABC，其中心为O，过O的直线MN
分析：OM与ON的长度与过O的直线MN的倾斜程度有关，故引入∠AOM为变量，利用解三角形的知识表示出|OM|及|ON|，求解最值．
解 设∠AOM=α．
这个题目仍然是引入了角做变量，利用三角变换这一工具求解最值．这个题目限定自变量的取值范围直接影响结果，十分重要．
下面我们小结一下这节课．这节课我们主要研究了两个问题：即函数式的最值问题及最值应用问题．函数式的最值问题是最值应用问题的基础，解决函数式的最值问题的关键在于灵活地选用代数与三角两种工具，树立转化的数学思想，同时应注意一些典型方法的总结．解决最值应用问题的关键在于充分分析题目，选择恰当的自变量，列出相对简单的目标函数以便于求解最值．
作业
1．求下列函数的值域．
（2）已知（x+2y）2+y2=9，求u=x-y的最值． 3．求周长为定值P的直角三角形面积的最大值．
4．△ABC中，AB=AC=1，△ABC与以BC为边的正△BCD面积和为S，求S的最大值．
5．如图5，AB是半圆直径，延长AB到D，使BD=R，C为半圆上的动点，C在何处时，以DC为边的正△CDP与△OCD面积和最大．
课堂教学设计说明
最值问题是学生感到困难的一个内容，求最值的方法多样，不可能一一列举．这节课的主要目的是教会学生灵活选用代数与三角两种工具解决问题，培养学生“转化”这一数学思想，体现“三角变换”的工具性．
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