高中数学 2.2等差数列教案(二)新人教A版必修5（优秀）_高中数学必修二的教案

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高中数学 2.2等差数列教案(二)新人教A版必修5（优秀）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“高中数学必修二的教案”。

2.2 等差数列

(第一课时)[讲授新课] 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。

⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{an},若an－an1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公差。

思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 2．等差数列的通项公式：ana1(n1)d【或anam(nm)d】

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：

a2a1d即：a2a1d

a3a2d即：a3a2da12d a4a3d即：a4a3da13d

……

由此归纳等差数列的通项公式可得：ana1(n1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an。由上述关系还可得：ama1(m1)d 即：a1am(m1)d

则：ana1(n1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d 即等差数列的第二通项公式

anam(nm)d

∴ d[范例讲解] 例1⑴求等差数列8，5，2…的第20项

⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

解：⑴由a18,d5825

3n=20，得a208(201)(3)49 ⑵由a15,d9(5)得数列通项公式为：an54(n1)由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得40154(n1)成立解之得n=100，am-an m-n即-401是这个数列的第100项

例2某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？

解：可以抽象为等差数列的数学模型。4km处的车费记为：a111.2公差d1.2 当出租车行至目的地即14km处时，n=11 求a11

所以：a1111.2(111)1.223.2 3.探究：等差数列与一次函数的关系

引导学生动手画图研究完成以下探究：

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为an3n5的数列的图象。这个图象有什么特点？ ⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列anpnq与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。

分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，……时，对应的an可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；

⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列是y=px+q定义在正整数集上对anpnq的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，应的点的集合。

如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。

例3 已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1（n≥2）是不是一个与n无关的常数。

解：当n≥2时,（取数列an中的任意相邻两项an1与an（n≥2））求差得 anan1(pnq)[p(n1)q]pnq(pnpq)p，它是一个与n无关的数.∴{an}是等差数列，首项a1pq，公差为p。

注：若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，… Ⅲ.课堂练习

课本P39练习1、2、3、4 [补充练习] 1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：（n－1）×4,即an=4na1=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：an=3+－1（n≥1,n∈N*）∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.∴该数列的通项公式为：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7.∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）×7=7n－5.令7n－5=100,解得：n=15,∴100是这个数列的第15项.（4）－20是不是等差数列0，－3说明理由.1，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，2177

∴此数列的通项公式为：an=－n+, 222774777令－n+=－20,解得n=

因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这22227解：由题意可知：a1=0,d=－3个数列的项.Ⅳ.课时小结

通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an1=d，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：ana1(n1)d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：anam(nm)d和an=pn+q(p、q是常数)的理解与应用.Ⅴ.课后作业

课本P40习题2.2[A组]的第1题



(第二课时)[讲授新课] 问题：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？

由定义得Aa=ba，即：A=反之，若A=a+b

2a+b，则Aa=ba 2a+ba，b成等差数列由此可可得：A=2等差数列的常见性质：若数列①

an为等差数列，且公差为d，则此数列具有以下性质：

anamnmd；

dana1anamn1nm； ②

*aanapaq③若mnpq（m,n,p,qN），则m；

④2ananmanm。

ana1n1d，右边=a1m1dnmda1n1d左边

dana1aamdnn1；由anamnmd可得nm 证明： ①左边=②由ana1n1d可得③左边a1m1da1n1d2a1mn2d

右边a1p1da1q1d2a1pq2d 又因为mnpq，所以左边=右边，故得证。④左边2a1n1d

右边a1nm1da1nm1d2a12n2d2a1n1d=左边等差数列的其它性质： ①即an为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，a1ana2an1a3an2ai1ani。

a,a,a,k,mN组成公差为md的等差②下标成等差数列且公差为m的项kkmk2m*数列。③若数列an和bn均为等差数列，则anbn,kanb（k,b为非零常数）也为等差数列。

④m个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来m个等差数列的公差之和。

[范例讲解] 例1 在等差数列{an}中，若a1+a6=9, a4=7, 求a3 , a9.分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手…… 解：∵ {an }是等差数列

∴ a1+a6=a4+a3 =9a3=9－a4=9－7=2

∴ da4－a3=7－2=5

∴ a9=a4+(9－4)d=7+5×5=32

∴

a3 =2, a9=32 例2在等差数列{an}中，已知a2a3a10a1136，则a5a8________．解法１：根据题意，有

(a1d)(a12d)(a19d)(a110d)36，∴4a122d36，则2a111d18．解法2：根据等差数列的性质，可得

a5a8a2a11a3a1036218．

答案：18 【课堂练习】

1.练习（课本P39，题5）已知数列{（1）（2）（3）

an}是等差数列

呢？为什么？ 2a5a3a7是否成立？

2a5a1a92anan1an1(n1)是否成立？据此你能得到什么结论？