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第二章
正投影基础
§2-1 投影法的概念
投影法：从物体和投影的对应关系中，总结出了用投影原理在平面上表达物体形状的方法。
投影法可分为两大类：中心投影法、平行投影法。
一、中心投影法
二、平行投影法
1、投影法的定义及分类。
2、各类投影的方法与实质。
何谓正投影法、斜投影法？
三、三视图的形成及投影规律
1、三视图的形成物体是有长、宽、高三个尺度的立体。我们要认识它，就应该从上、下、左、右、前、后各个方面去观察它，才能对其有一个完整的了解。图3-4所示的是四个不同的物体，它们只取一个投影面上的投影，如果不附加其它说明，是不能确定各个物体的整个形状的。要反映物体的完整形状，必须根据物体的繁简，多取几个投影面上的投影相互补充，才能把物体的形状表达清楚。
为了准确地表达物体的形状和大小，我们选取互相垂直的三个投影面。
（1）三投影面体系 三面: 正立投影面：简称正面 用 V 表示
水平投影面：简称水平面 用 H 表示 侧立投影面：简称侧面 用 W 表示 OX轴：V面与H面的交线。OY轴：H面与W面的交线。OZ轴：V面与W面的交线。
OX轴、OY轴、OZ轴的交点为圆点。
（2）三视图的形成：
主视图：正面投影（由物体的前方向后方投射所得到的视图）俯视图：水平面投影（由物体的上方向下投射所得到的视图）左视图：侧面投影（由物体的左方向右方投射所得到的视图）（3）三视图的展开规定
正面保持不动，水平面绕OX轴向下旋转900，侧面绕OZ轴向右旋转900。
四、三视图之间的对应关系
1、位置关系: 主视图在上方，俯视图在主视图的正下方，左视图在左视图的正右方。
2、投影关系：
主视图反映物体的长度和高度。俯视图反映物体的长度和宽度。左视图反映物体的高度和宽度。
主、俯视图反映了物体的同样长度（等长）。主、左视图反映了物体的同样高度（等高）。俯、左视图反映了物体的同样宽度（等宽）。归纳：
主视、俯视长对正（等长）。．．．主视、左视高平齐（等高）。．．．俯视、左视宽相等（等宽）。．．．
3、方位关系：
主视图反映了物体的上、下、左、右方位。俯视图反映了物体的前、后、左、右方位。2
左视图反映了物体的上、下、前、后方位。（课堂小结）
1、三视图的方位关系
2、三视图的三等关系
3、三投影面体系的组成（作业布置）
习题集 P5-P6
§2-2 点的投影
一、点的投影特性：点的投影永远是点。
二、点的投影标记
空间点用：A、B、C、D ……标记。
空间点在H面上的投影用：a、b、c、d ……标记； 空间点在V面上的投影用：a´、b´、c´、d´ ……标记； 空间点在W面上的投影用：a´´、b´´、c´´、d´´ ……标记。
三、点的三面投影
四、点的投影规律
（1）点的正面投影与水平面投影的连线一定垂直于OX轴，即aa´⊥OX；（2）点的正面投影与侧面投影的连线一定垂直于OZ轴，即 a´a´´⊥OZ；
（3）点的水平面投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aaX=aaZ
五、点的坐标
A点到W面的距离为X的坐标值 A点到H面的距离为Z的坐标值 A点到V面的距离为Y的坐标值
六、点的投影与坐标
水平面投影a由A点的x、y两坐标确定。正面投影a´由A点的x、z两坐标确定。侧面投影a´´由A点的y、z两坐标确定。例：已知点A（20，35，10），求作它的三面投影。例：已知点的两面投影，求作其第三面投影。
七、两点的相对位置
X坐标确定左右相对位置 X值大者在左边
Y坐标确定前后相对位置 Y值大者在左边
Z坐标确定上下相对位置 Z值大者在左边
八、重影点的投影
当空间两点的某两个坐标值相等时，该两点处于某一投影面的同一投射线上，则这两点对该投影面的投影重合于一点。空间两点的同面投影重合于一点的性质，称为重影性，该两点称为重影点。 总结与巩固（小结、考核知识点、作业等）（巩固练习）
1、作A（20，30，10）的直观图；
2、已知空间A（20，30，10），B点在A点上12mm，右8mm，前10mm，求作B点。（课堂小结）
1、点的三面投影规律是什么？
2、点的投影特性是什么?
3、空间点的相对位置的判断依据是什么？
4、点的空间直观图的作法是什么？（作业布置）
习题集P8
§2-3 直线的投影
一、直线
在绘制直线的投影图时，只要作出直线上任意两点的投影，再将两点的同面投影连接起来，即得到直线的三面投影。
二、直线的投影特性
1、直线倾斜于投影面：投影具有收缩性，投影变短线。
2、直线平行于投影面：投影具有真实性，投影实长现。
3、直线垂直于投影面：投影具有积聚性，投影聚一点。
三、直线在三投影面体系中的投影特性
（1）一般位置直线：对于三个投影面均处于倾斜位置；
（2）投影面平行线：平行于一个投影面，而与另外两投影面倾斜。（3）投影面垂直线：垂直于一个投影面，而平行于另外两投影面。
1、一般位置直线 投影特性：
（1）在三个投影面上的投影均是倾斜直线；（2）投影长度均小于实长。
2、投影面平行线（1）三种位置
正平线：平行于V面的直线；
水平线：平行于H面的直线；
侧平线：平行于W面的直线。
（2）投影特性：
① 在所平行的投影面上的投影为一段反映实长的斜线；
② 在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，长度缩短。
3、投影面垂直线（1）三种位置
正垂线：垂直于V面的直线； 铅垂线：垂直于H面的直线； 侧垂线：垂直于W面的直线。
（2）投影特性：
① 在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；
② 在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且反映实长。
四、两直线的相对位置
1、平行
若两直线在空间相互平行，则在V,H,W投影面上的投影也分别相互平行；反之，若两直线的三面投影都相互平行，则此两直线在空间必定相互平行。
2、相交
若两直线在空间相交，则他们在三个投影面上的投影也相交，并且其交点一定符合点的三面投影规律。
3、交叉
两直线在空间既不平行也不相交则为交叉直线。交叉直线是异面直线。“交点”不符合点的投影规律。所谓的“交点”实际上是一对重影点。（作业布置）
课堂作业： 习题集 P9-P11
§2-4 平面的投影
一、平面的三面投影
将平面进行投影时，可根据平面的几何形状特点及其对投影面的相对位置，找出能够决定平面的形状、大小和位置的一系列点来，然后作出这些点的三面投影并连接这些点的同面投影，即得到平面的三面投影。
二、平面的投影特性
1、平面平行于投影面，投影原形现。
2、平面倾斜于投影面，投影面积变。
3、平面垂直于投影面，投影聚成线。
三、平面在三投影面体系中的投影特性
1、一般位置平面：与三个投影面都处于倾斜位置的平面。
投影特性：在三个投影面上的投影，均为原平面的类似形；而形状缩小，不反映真实形状。
2、投影面平行面：平行于一个投影面，而垂直于其他两个投影面的平面。（1）三种位置：
正平面：平行于V面的平面； 水平面：平行于H面的平面； 侧平面：平行于W面的平面。（2）投影特性：
①在所平行的投影面上的投影反映实形；
②在其他两投影面上的投影分别积聚成直线，且平行于相应的投影轴。
3、投影面垂直面：垂直于一个投影面，而倾斜于其他两个投影面。（1）三种位置：
正垂面：垂直于V面的平面； 铅垂面：垂直于H面的平面； 侧垂面：垂直于W面的平面。（2）投影特性：
在所垂直的投影面上的投影积聚为一段斜线； 在其他两投影面上的投影均为缩小的类似形。
四、直线与平面相交
一般位置直线与特殊位置平面相交
由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，因此，直线与特殊位置平面相交可利用该平面投影的积聚性，直接找出交点的一个投影，再利用线上取点的方法求出交点的其它投影。投影面垂直线与一般位置平面相交
投影面垂直线与一般位置平面相交，其交点的一个投影重合在直线有积聚性的投影上；另一个投影可通过作图方法获得。
五、两平面相交
两平面相交，其交线为一直线，它是两平面的共有线。求两平面的交线，就是求两平面的共有线，也就是求任两个共有点的连线。一般位置平面与特殊位置平面相交
当相交两平面中有一个平面的投影有积聚性时，即可利用有积聚性的投影来确定交线的一个投影，交线的另一个投影可以按面上取点、取线的方法作出。
作图步骤： 求积聚性投影上的点 作出另一投影 判别可见性
两特殊位置平面相交
当相交两平面均为特殊位置平面时，每个平面必有一个投影有积聚性，即可确定交线的一个投影，而另一投影可按面上取点、取线的方法作出。（作业布置）
课堂作业： 习题集 P12-P13 9
§2-5基本几何体的投影
一、平面立体的投影
1、棱柱
2、棱锥
由于平面立体的棱线是直线，所以画平面立体的投影图，就是先画出各棱线交点的投影，然后顺次连线，并注意区分可见性。
研究平面立体的投影特性，实际上就是分析围成立体表面的平面图形的投影特性。
平面立体投影图中的每一条直线，是立体上一条棱线或一个面的积聚性投影。平面立体投影图中的每一个封闭的线框，一般代表着立体的某个面的投影。平面立体表面上的点 平面立体被截切
平面截切立体所得到的表面交线，称为截交线。截交线所围成的平面图形，称为截断面。截切立体的平面，称为截平面。截交线是立体表面与截平面的共有线，其求作的方法是先求出平面立体上被截断的各棱线与截平面的交点，然后顺次连线。
二、曲面立体
一动线（直线或曲线）绕一定直线旋转而成的曲面，称为回转面。定直线称为回转轴，动线称为母线，母线处于回转面上任意位置时，称为素线。母线上任意一点的旋转轨迹都是圆，该圆又称为纬圆。由回转面或回转面与平面所围成的立体，称为回转体。
1、圆柱
圆柱体的形成圆柱面可以看成是由一直线绕与它平行的回转轴旋转而成的。10
圆柱体的投影 圆柱体表面上的点
2、圆锥
圆锥体的形成圆锥面可以看成是由一条直母线绕与它相交的回转轴旋转而成的。圆锥体的投影 圆锥体表面上的点 素线法 纬圆法
3、圆球
球是圆母线绕其直径为回转轴旋转而成的。布置作业：
P14 2-35;P15 2-36 2-37 2-38
§2-6 换 面 法
一、换面法的基本概念
让空间几何要素的位置保持不动，用一个新的投影面代替原来的一个投影面，构成新的投影体系，让空间几何要素对新投影面处于有利于解题的特殊位置。
二、换面法的基本作图问题
1、把一般位置直线变换成投影面的平行线；
2、把投影面平行线变换成投影面垂直线；
3、把一般位置平面变换成投影面垂直面；
4、把投影面垂直面变换成投影面平行面。
布置作业：
P.15 2-37 2-38
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