极限的概念 教案_教案极限的概念

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【教学课题】：§1.2数列的极限（第一课时）

【教学目的】：使学生逐步建立起数列极限的N定义的清晰概念。会应用数列极限的N定义证明数列收敛及有关命题，并能运用N语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。

【教学重点】：数列极限的概念。

【教学难点】：数列极限的N定义及其应用。

【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。

一引言

通过介绍我国数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，来介绍极限思想的最初萌芽。

二、数列极限的定义．定义（数列）：若函数f的定义域为全体正整数集合N，则称

f:NR或f(n),nN 

为数列。因为正整数集可以由小到大排列，故数列f(n)也可以写作

a1,a2,,an,

简记为{an}，其中an称为该数列的通项。

2收敛数列描述性定义：一般地说，对于数列an，若当n无限增大时，an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。

如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。数列极限的数学定义 以111a1n为例，可观察出该数列具以下特性：①随着的无限增大，无限nnn

n地接近1。②随着n的无限增大，1

|1

1n1|无限减少，也就是说|1

n1|1

101n与1的距离无限减少。③随着n的无限增大，1|会任意小，只要n充分大。如：要使|1，只要n10即可；

要使|1

 1n1|1100，只要n100即可；

任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项aN，从该项之后(nN)，|1





1

1|。n



1

1|。n

即0,N，当nN时，|1

综上所述，数列1





111的通项随的无限增大，无限接近于1，即是对任11n

nnn

意给定正数，总存在正整数N，当nN时，有|1





11

。此即1|1以1为极

nn

限的精确定义，记作lim1

n



11

或n,11。1

nn

定义 设an为数列，a为实数,，若对0，总NN，使得当nN时有

|ana|

则称数列an收敛于a,a称为数列an的极限。并记作limana或ana(n)。

n

由于n限于取正整数，所以在数列极限的记号中把n写成n。

若数列an没有极限，则称an不收敛，或称an为发散数列。

注意：关于：① 的任意性。刻化an与常数a的接近程度，越小，表示an与a越近；②的固定性。尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它



2来求出Ｎ；③的多值性。既是任意小的正数，那么,3,等等，同样也是任意小的正数，因此定义１中的不等式|ana|中的可用“|ana|”可用“|ana|”代替；

,3,等来代替。从而

关于N：相应性。一般地，N随的改变而改变，因此常把N看作N()来强调N是依赖于的，一经给定，就可以找到相应的一个N。当然N并不是唯一的，N之后的任意的项数都可以作为N。举例说明如何用N定义来验证数列极限

例１ 证明 lim

n(1)

n

n

n

1。

n

证0，考察

n(1)

n

1

1n

，可得n

。

n(1)1

于是可取N，则当nN时，便有：1。1n

n

所以lim

n(1)

n

n

n

1。

例2 证明lim

3n

n

n

33。

9n3

证考察

3n

n3

93





9n

(n3)，因此对

0，只要n，n3，上式就小于，故取Nmax{3,，则当nN时，总

9

9n

，即lim

3n

有

3n

n3

3

n3

n

n

n3

3。

例3证明limq0(|q|1)

n

证若q0，则结果显然成立。

1q

现设0q1,记h

10,由qn0qn

1(1h)

n



11nh



1nh

，得

n,因此取N，所以0,当nN时，便有qn0。hh即limq0(|q|1)。

n

n

1

例4证明lim

n

a1(a0)。

证①a=1时,，显然成立。

n

②a1时，令an1(0)，则a(1)1n1n

a1n



所以为了要使an1，只需

a1n

a1

，可取N。



③0a1时，令a

(b1)，则由 an1()n1

bb

1bn

bn1,可得

bn

nlog1b，可取Nlog1b。

总之，当

a0时，总有lim

n

1。

5．数列极限证明的步骤

(１)考察化简ana；

(２)放大ana，通常适当放大或条件放大ana1(n)2(n)k(n)；(３)解k(n)，求出需要的N；(４)用N语言再顺着写下来。

6．数列极限的几何理解

在定义１中，“当nN时有|ana|”“当nN时有aana” “当nN时有” 所有下标大于N的项an都落在邻域U(a;)内；而在U(a;)之外，数列an中的项至多只有N个（有限个）。反之，任给0，若在U(a;)之外数列an中的项只有有限个。

aaa

由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）：

定义1任给0，若在U(a;)之外数列an中的项只有有限个，则称数列an收敛于极限a.由此可见：１）若存在某个00，使得数列an中有无穷多个项落在U(a;0)之外，则an一定不以a为极限；２）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关。所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响。

a为定数。否定定义1 设{an}为数列，若对00，对NN，总存在n0N，且|ana|0，则称数列{an}不收敛于a。

否定定义1' 若存在00，使得数列{an}中有无穷多项落在U(a;0)之外，则

{an}不以a为极限。

例５ 证明n2和(1)n都是发散数列。

证(xn发散aR,00,N，n0N，使得xna0)

aR,取01,则在U(a,0)之外所有满足na1的项有无穷多,显然都落在U(a,0)之外，所以n2不以任何a为极限。即数列n2发散。

例６设limxnlimyna，作数列：求证limzna。zn:x1,y1,x2,y2,,xn,yn,，n

n

n

证 由limxnlimyna，故0，数列xn和yn中落在U(a;)之外的项至多只

n

n

有有限项，所以zn落在U(a;)之外的项也至多只有有限项，故由定义1得limzna。

n

例７ 设an为给定的数列，减少或改变有限项之后得到的数列，bn为对an增加、求证：数列bn与an同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。

证 设an为收敛的数列，且limana，按定义1，0，数列an中落在n

U(a;)之外的项最多只有有限项，而数列bn是对an增加、减少、改变有限项之后得

到的。故数列bn与an同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。

三 小结

本课时的主要内容要求：

① 使学生逐步建立起数列极限的N定义的清晰概念。② 会应用数列极限的N定义证明数列的有关命题。③ 能运用N语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。

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