构件内力分析基础教案_构件的内力教案

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构件内力分析基础教案

学习目标

理解各种基本变形的受力和变形特点；掌握各种基本变形的内力特点、计算方法；掌握各种基本变形的内力图、力矩图的画法。

一、构件的基本要求

机械工作时，组成机械的各个构件都要受到外力的作用。例如，吊起重物的钢丝绳要承受重物的重力、轧钢机轧辊要受到钢坯阻力的作用等。

构件在载荷作用下都会发生一定的变形，随着载荷的继续增加，有些构件可能会突然断裂，有些构件则发生过大变形直至破坏。为了保证构件正常工作，每一个构件都要有承受足够载荷的能力。

具有一定承载能力的构件，要满足下面3个方面的要求： 1．强度要求

强度是构件抵抗破坏的能力，满足强度要求是指正常受力的构件不能被破坏。这是对构件的最基本的要求。例如，吊起重物的钢丝绳不允许断裂，齿轮在传动过程中不允许破损，机器主轴不允许折断或扭坏等。2．刚度要求

刚度是构件抵抗变形的能力，满足刚度要求是指正常受力的构件的变形量不能超过允许的限度。有时构件在载荷的作用下虽然不会发生破坏，但如果变形过大，会导致构件不能正常工作。例如，齿轮轴变形过大会影响齿轮的啮合状况，如图2—l(a)所示；车床主轴变形过大会影响工件的加工精度，如图2—l(b)所示。因此，对于自身变形会影响机械工作性能的构件，必须满足一定的刚度要求。

3．稳定性要求

稳定性是构件保持原有平衡状态的能力。对于中心受压的细长直杆，例如，图2—2(a)所示的内燃机的挺杆、图2—2(b)所示的千斤顶的顶杆等，当压力较小时，受压杆件均能保持直线的平衡状态，但随着压力的增加，压杆会突然变弯而丧失工作能力，这种现象称为丧失稳定，简称失稳。因此，要求压杆必须在工作中始终保持原有的直线状态，即具有足够的稳定性。为了满足构件在强度、刚度、稳定性3个方面的要求，达到安全可靠的目的，必须为构件选择适当的材料、合理的截面形状和尺寸，同时还必须尽可能降低材料的消耗量，以符合经济的原则。

图2—2中心受压的细长直杆

二、变形固体的概念

1、随外力解除而消失的变形称为弹性变形，2、外力解除后不能消失的变形称为塑性变形，也称为残余变形或永久变形。本课程中仅限于研究物体的小变形和弹性变形。

三、杆件的基本变形 1．拉伸与压缩

这种变形的特点是杆件受到大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力作用时，引起杆件在轴线方向上发生伸长或缩短，如图2—3所示。例如汽缸的活塞杆、起吊重物的绳索、千斤顶的顶杆等。

图2—3拉伸与压缩

2．剪切和挤压

螺栓、铆钉、销钉、键等构件受到大小相等、方向相反、作用线垂直于杆轴且距离很近的一对力作用时，引起杆件的横截面间发生相对错动，如图2—4(a)所示，这种变形称为剪切；除承受剪切作用外，还需要在被联接件的接触面上相互压紧，如图2—4(b)所示，这种现象称为挤压。联接件除了可能以剪切的形式破坏外，还可能因挤压而破坏。

图2—4剪切和挤压

3．扭转

这种变形的特点是杆件受到大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的两个力偶矩作用时，引起杆件的横截面绕其轴线发生相对转动，如图2—5所示。例如，汽车方向盘的转向轴、机器中的各种传动轴、电机轴等。4．弯曲

这种变形的特点是杆件受到垂直于杆件的轴向力，或由作用于杆轴纵向平面内的一对大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的两个力偶矩作用时，原为直线的轴线变成曲线，如图2—6所示。例如，车辆的车轴、起重机的大梁等。

图2—5扭转图2—6弯曲

还有一些杆件同时承受几种基本变形，例如，车床主轴工作时要承受弯曲、扭转和压缩3种变形；钻床立柱同时承受拉伸和弯曲两种基本变形，这些情况称为组合变形。

四、内力的概念

通常所说的内力，是指构件内部质点之间相互作用的力，本课程中所说的内力则是指构件受到外力作用时构件内部各质点之间相互作用力

1、拉伸与压缩

（1）、轴向拉伸(或压缩)时横截面上的内力——轴力

以图2—7(a)所示拉杆为例，欲求拉杆任一截面m—m上的内力。可以假想用一平面将杆件沿截面m—m截为两段，任取其中一段，如以左段作为研究对象，并将右段杆对左段杆的作用以内力N代替。由于原来整个杆件处于平衡状态，被截开后的各段也必然处于平衡状态，所以左段杆除受F力作用外，截面m—m上必定有作用力N与之平衡[图2—7(b)]，该力就是右段杆对左段杆的作用力，即截面m—m上的内力。列出左段杆的平衡方程

∑x=0 即N-F=0

得

N=F

若以右段作为研究对象，如图2—7(c)所示，同样可得

∑x=0即

N’-F=0 得N’=F

实际上N与N’是一对作用力与反作用力。因此，对于同一截面，如果选取不同的研究对象，所求得的内力必然数值相等、方向相反。这种假想地用一个截面把杆件截为两部分，所，以确定截面内力的方法称为截面法。图2—7截面法求杆件内力

截面法求解杆件内力的步骤可以归纳如下：

①沿所研究截面假想地将杆件截为两部分，于该部分的外力。取其中一部分作为研究对象，建立平衡方任选其中一部分作为研究对象，画出作用 ②画出截面的内力，取代另一部分对所研究部分的作用。

③对研究部分建立静力平衡方程，解方程，确定内力的大小、方向。

由于轴向拉伸或压缩时杆件横截面上的内力Ⅳ与外力F共线，且与杆件重合，所以这里的内力称为轴力。

轴力的正负号表示杆件不同的变形。杆件拉伸时，轴力背离截面取正号。杆件压缩时，轴力指向截面取负号。

如果在杆件两端和中间部分均有外力作用，仍可应用截面法求各截面上的轴力。可以采用一个直接利用外力计算轴力的规则：杆件承受拉伸(或压缩)时，杆件内任一截面上的轴力等于截面一侧所有外力的代数和，外力背离截面时取正，外力指向截面时取负。

（2）、轴力图

为了形象地表示轴力沿直杆轴线的变化规律，可以用平行于轴线的坐标表示截面位置，用垂直于轴线的坐标表示截面上的轴力数值，画出轴力与截面位置的关系图，如图2—8(b)所示，称为轴力图。

从轴力图上可以确定最大轴力及其所在的截面位置。习惯上将正轴力(拉伸时的内力)画在上方，将负轴力(压缩时的内力)画在下方。

例2—1如图2—8(a)所示，一等直杆受到F，=90 kN，F2=70 kN，F3=30 kN外力的作用，试求各截面的轴力，并作轴力图。解：(1)计算各截面的轴力

图2—8 根据轴力计算规则，各截面的轴力可以直接写为 N1=F1-F2+F3=50 kN

N2=-F2+F3=-40 kN

N3=F3=30 kN(2)作轴力图

如图6—8(b)所示，杆件的最大轴力为 Nmax=50 kN

2、剪切和挤压（1）剪切的内力

当作用在零件两侧的外力大小相等、方向相反、作用线垂直于杆轴且距离很近时，两侧作用力之间的截面有发生相对错动的趋势，零件的这种变形称为剪切变形。发生相对错动的截面称为剪切面。如果零件受剪切时只有一个剪切面(图2—9)，应用截面法，如图2—9(b)所示，将铆钉用一个假想平面沿剪切面切开，取其下半部分作为研究对象。为了保持下段铆钉的平衡，截面上必有内力存在，这个与截面相切的内力称为剪力，用FQ表示，如图2—9(c)所示。

如图2—9(c)所示，根据平衡条件，剪力FQ的大小为：FQ=F。

图2—9 单剪

图2—10 双剪

（2）挤压力

螺栓、铆钉、销钉、键等各种联接构件除承受剪切作用外，还需要在被联接件的接触面上相互压紧，这种现象称为挤压，如图2—4(b)所示。仍以铆钉联接为例，铆钉与被联接的钢板在一个半圆柱面上互相接触，产生挤压作用。通常把两个接触面间的压力称为挤压力，以符号Fj表示。挤压力Fj的大小为Fj=F。

3、圆轴扭转

如果在与圆杆轴线相垂直的平面内作用有大小相等、转向相反的外力偶，使杆的相邻截面发生绕轴线的相对错动，这种变形称为圆轴的扭转变形，如图2—11(a)所示。

（1）圆轴扭转时的扭矩分析

用截面法分析轴的内力。将轴沿指定截面m—m切成两段，舍去右段，保留左段。由于作用于轴上的外力只有绕杆轴线的外力偶，所以横截面上只能有绕x轴的内力偶矩分量——扭矩T，其余的内力分量均为零，如图2—11(b)所示。扭矩的大小仍可依据保留段的平衡条件确定，即 ∑M=0 即T-M=0 得T=M

图2—11用截面法分析轴的内力

（2）扭矩的计算规则和符号规定

某一截面上的扭矩，等于截面一侧所有外力偶矩的代数和，扭矩的转向与外力偶矩恰好相反，用右手四指弯向表示扭矩的转向，大拇指的指向与截面外法线n相同时扭矩为正，反之为负。如图2—11(c)所示扭矩丁为正；图2—11(d)所示扭矩71为负。

（3）扭矩图

如果在圆轴上同时作用有几个外力偶，一般情况下，不同区段上扭矩是不相同的，各截面的扭矩可用截面法分段求出。为了清晰地反映出扭矩随截面位置的变化情况，常常把这种变化情况绘制成函数图像，称为扭矩图。其画法与轴力图类似，取平行于轴线的横坐标x表示各横截面的位置，垂直于轴线的纵坐标T表示相应截面上的扭矩值，正值画在x轴上方，负值画在x轴下方。

（4）外力偶矩的计算

在工程中许多受扭转的构件，如传动轴等，往往并不直接给出其外力偶矩，而是给出它所传递的功率和转速，这时可用下面的公式求出作用于轴上的外力偶矩。若已知功率P的单位为kw，转速n的单位为r／min，则外力偶矩为 pn下面举例说明扭矩的计算与扭矩图的绘制方法。M=9 550×（2—1）

例2—2传动轴如图2—12(a)所示，主动轮A输入功率PA=40 kw，从动轮B，C，D输出功率分别为PB=20 kw，PC=PD=10 kw，轴的转速n=200 r／min，试绘制扭矩图。

图2—12 解：(1)计算外力偶矩 MA=9 550×40kw=1910 N·m 20rmin20kw=955 N·m 20rmin10kw=477 N·m 20rminMB=9 550×MC=9 550×(2)计算各段扭矩值 TAB =-MA =-l 910 N·m TBC =-MA+MB =-955 N·m TCD =-MD =-477 N·m(3)画扭矩图[图2—12(b)] 由图可知，最大扭矩(绝对值)发生在AB段，׀T׀max =1 910 N·m(4)讨论

若将轮A放在中间，如图2—12(c)所示，再做出扭矩图，如图2—12(d)所示，最大扭矩发生在BA，AC两段，׀T׀max=955 N·m。

可见，主动轮与从动轮安放的位置不同，轴所承受的最大扭矩也不同。两者相比，图2—12(c)所示轮子布局比较合理。一般应将主动轮布置在几个从动轮中间，使两侧轮子的转矩之和相等或接近相等。

4、弯曲的内力分析

弯曲变形是工程中常见的一种基本变形。受力和变形特点是：作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使杆件的轴线由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲变形。以弯曲变形为主的构件称为梁。（1）平面弯曲概念

1）．静定梁的基本形式

作用在梁上的外力包括载荷与支座约束力。仅由平衡方程可求出全部支座约束反力的梁称为静定梁，静定梁的基本形式有以下3种：(1)简支梁

一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座的梁称为简支梁，如图2—13(a)所示。(2)悬臂梁

一端固定，另一端自由的梁称为悬臂梁，如图2—13(b)所示。(3)外伸梁

一端或孽鬻有外伸部分的简支梁称为外伸梁，如图2—13(c)所示。

梁的两个支座之问的距离，称为梁的跨度。图2—13静定梁的基本形式

2）．平面弯曲的概念工程中常见的梁，其横截面大多至少有一根对称轴，如图2—14(b)所示。截面的对称轴与梁的轴线所确定的平面称为梁的纵向对称面，如图2一14(a)所示。若梁上所有外力(包括外力偶)都作用在梁的纵向对称面内，则变形后梁的轴线将是位于纵向对称面内的一条平面曲线。这种弯曲称为平面弯曲，它是弯曲问题中最常见和最简单的情况。

图2—14平面弯曲的概念

（2）梁的内力

1）．剪力、弯矩的概念

梁的内力仍由截面法确定。如图2—15(a)所示的简支梁，为确定任一截面n—n的内力，首先求出梁的支座反力FA和FB，然后，假想用截面将梁在n—n处截成两段，如图2—15(b)(c)所示。若取左段梁为研究对象,由于整个梁是平衡的，所以它的任一部分都处于平衡。由左段梁的平衡可知，在n—n截面上必然存在两个内力分量。

图2—15剪力和弯矩

(1)与截面相切的内力分量，称为剪力，用FQ表示。(2)作用在纵向对称面内的内力偶矩称为弯矩，用M表示。由平衡方程可得n—n截面的剪力FQ与弯矩M。∑FC=0 即FA-FQ = 0 得FQ = FA

∑Mc(F)=0 即-FAx+M=0 得M = FAx

式中点c为截面的形心。2．）剪力和弯矩的正负号规定

为使取左段梁或右段梁得到的同一截面的剪力与弯矩符号相同，根据梁的变形情况，对剪力、弯矩的符号规定如下：

在横截面的内侧截取一微段梁，凡使该微段梁发生左上、右下相对错动(顺时针错动)变形的剪力规定为正，反之为负；使微段梁产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负，如图2—16所示。

图2—16剪力和弯矩的正负号规定

3）．计算剪力和弯矩的简捷方法

截面法是计算梁剪力和弯矩的基本方法，将平衡方程∑F=0和∑M(F)=0移项后可得到计算梁剪力和弯矩的规律，称为简捷法。

(1)梁内任一横截面上的剪力等于该截面一侧(左侧或右侧)所有横向外力的代数和。其中，截面以左向上的外力或截面以右向下的外力，在该截面上产生正的剪力，即“左上右下，剪力为正”；反之，则产生负的剪力。(2)梁内任一横截面的弯矩，等于截面一侧(左侧或右侧)所有外力(包括外力偶)对该截面形心力矩的代数和。其中，截面以左对截面形心顺时针的力矩或截面以右对截面形心逆时针的力矩，在该截面上产生正的弯矩，即“左顺右逆，弯矩为正”；反之，则产生负的弯矩。

（3）梁的剪力图和弯矩图

1）．由剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图

一般情况下，梁横截面上的剪力、弯矩随截面位置变化而变化。若以梁的轴线为x轴，坐标x表示截面的位置，则剪力和弯矩可表示为x的函数，即 FQ= FQ(x)，M=M(x)

这种内力随截面位置变化的函数关系式，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。梁的内力随截面位置变化的图线，分别称为剪力图和弯矩图。由内力图可以确定梁的最大剪力和最大弯矩及其所在的截面(危险截面)位置，以便进行梁的强度计算。下面通过例题说明梁剪力图和弯矩图的画法。

例2—3 如图2—17(a)所示的简支梁，受集中力作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。解：(1)求支座的约束力

FbFaFB= ll(2)列出梁的剪力方程和弯矩方程

FA = 梁在C截面处有集中力作用，故AC段和CB段的内力方程不同，需要分段列出。

AC段：

FQ(x1)=FA =M(x1)= FAx1=

1(0x1a)lFaBC段：FQ(x2)=-FB=-

(ax2l)l(3)画剪力图和弯矩图

由AC段和CB段剪力方程可知，AB段梁的剪力图是一条在x轴上方的水平直线，佃段梁的剪力图是一条在x轴下方的水平直线，梁的剪力图如图2—17(b)所示。由AC段和CB段的弯矩方程可知，两段梁的弯矩图均为斜直线，在每段上计算两端截面的M值，可画出梁的弯矩图，如图2—17(c)所示。

图2—17 由FQ，M图可知，集中力作用的截面，剪力图发生突变，突变的方向是从左到右和集中力的方向一致，其突变值等于集中力的大小。在集中力作用截面，弯矩图出现“尖点”，即M图在此点的斜率发生改变。

例2—4 试画出图2—18(a)所示简支梁的剪力图和弯矩图。解：(1)求支座约束力

FA =，FB=-

ll(2)列剪力、弯矩方程

由于有集中力偶作用，故剪力、弯矩方程应分段列出。

M AC段：FQ(x1)= FA =

lMM(x1)= FAx1= x(0x1

(ax1l)

lMM(x1)= FAx2-M=-(l-x2)

(3)画剪力图和弯矩图

由于AC段、CB段的剪力FQ等于常数，其值图2—18 M，因此，FQ图在全梁上为一水平线，如图2—18(b)所示。l由于AB段、CB段的弯矩M均为x的一次函数，两段梁的M图均为斜直线，求出各段均为两端截面的弯矩值。

AC段：x1=0

处

M=0 Mx1=a处

M=a

CB段：x2=a处

M=-b lx2=l处

M=0 标出上述弯矩值，连以直线，即为梁的M图，如图2—18(c)所示。

可见，在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图出现突变，突变的大小等于集中力偶矩的大小。突变方向，从左截面到右截面，当力偶为逆时针方向时，弯矩图由上向下突变，当力偶为顺时针方向时，弯矩图由下向上突变。

例2—5如图2—19(a)所示，简支梁受均布载荷作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。

图2—19

1解：(1)求支座约束力

FA = FB =ql

2(2)列剪力、弯矩方程

1FQ(x)=FA-qx=ql-qx(0

2(0xl)222

(3)画剪力图和弯矩图

由剪力方程可知，FQ图是斜直线，计算梁两端处的FQ值

1x=0 处，FQ =ql

21x=l处，FQ=-ql

2由此可画出FQ图，如图2—19(b)所示。

由弯矩方程可知，M图是一条二次抛物线。作此抛物线，需要确定几个坐标点，列表计算，见表2—1。标出以上各点的M值，并连以光滑曲线，即可画出弯矩图，如图2—19(c)

11所示。由图可知，梁的最大弯矩Mmax=ql2，发生在梁的跨中截面(x=l)处，而该截

82面的剪力FQ=0。

表2—1

通过上面各例，画内力图的步骤可归纳为： ①求支座的约束力(悬臂梁可以不求)。②分段列剪力、弯矩方程

集中力、集中力偶作用处和分布载荷的起、止点为分界点。③画剪力图和弯矩图

由内力方程判断内力图的形状，再计算各分界点的内力值(这些点所在截面称为控制截面)，最后画出内力图。

2．控制截面法画梁的剪力图和弯矩图剪力图、弯矩图的规律：

①无载荷作用的梁段，剪力等于常数，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。当剪力为正时，弯矩图斜向右上方；当剪力为负时，弯矩图斜向右下方。

②均布载荷作用的梁段，剪力图为斜直线(其斜率等于均布载荷的集度)，弯矩图为二次抛物线。当均布载荷向上作用时，从左向右剪力图为上斜的直线，弯矩图为下凸线的二次抛物线；当均布载荷向下作用时，从左向右剪力图为下斜的直线，弯矩图为上凸线的二次抛物线。在剪力等于零的截面上，弯矩取极值。

③在集中力作用的截面上，剪力图发生突变，突变值等于集中力的大小，自左向右突变的方向与集中力的指向相同，弯矩图出现尖点。④在集中力偶作用的截面上，剪力图无变化，弯矩图发生突变，突变值等于集中力偶的矩。当集中力偶为顺时针时，自左向右弯矩图向上突变；反之，则向下突变。利用以上规律，既可以校核内力图是否正确，也可以不列内力方程而直接画出内力图。画图的方法是：先求出梁支座的约束力，根据外力作用情况将梁分段，并定性判断各段剪图和弯矩图的形状，计算控制截面(分界点、剪力为零的点所在截面)的剪力值和弯矩值，画出剪力图和弯矩图。这种画剪力、弯矩图的方法，称为控制截面法。

例2—6如图2—20(a)所示简支梁，其尺寸和载荷如图所示，试用控制截面法作梁的内力图。

解：(1)求支座反力 F A=F B=F(2)分段，并判断各段FQ，M图的大致形状全梁分AC，CD，DB三段，AC，CD，DB段没有载荷作用，故其FQ图均为水平线、M图均为斜直线。

(3)计算控制截面的FQ，M值，并作FQ，M图

计算控制截面的FQ，M值： FQA = FQC左= F FQC右= FQD左= 0 FQD图2—20 右=

FQB

左

=-F

MA=0 , MC=MD=Fa，MB=0

根据FQ，M图的大致形状和控制截面的FQ，M值，可画出FQ，M图，如图2—20(b)(c)所示。

例2—7

用控制截面法画出图2—21(a)所示简支梁的内力图。解：(1)求支座反力 F A= 2 kN，F B=5 kN

(2)分段，并判断各段FQ，M图的大致形状梁应分AC，CB，BD三段：