材料力学典型物理量总结_物理力学知识点总结

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材料力学物理量公式总结

08机制（5）班 赖展韬 200830510513

第一章

绪论

应力为内力密度、即单位面积上作用的内力，是内力大小的量度。其单位为Pa或MPa 平均全应力

单位面积上的内力 Pm平均正应力

与截面垂直的分量 m平均切应力

与截面相切的分量 mFAFNAFS

A因内力一般不是均匀分布，所以使A0，便可得到一点处的应力

全应力 plim正应力 limFAFNAFSAx0dFdA

dFNdAdFSdAx0切应力 limx0应变是对变形的量度，是无量纲量。

线应变又称正应变，是弹性体变形时一点沿某一方向微小线段的相对改变量，无量纲。线应变 limlxx0dldx

角应变又称剪应变，是弹性体变形时某点处一对互相正交的微线段所夹直角的改变量，单位为弧度（rad），用表示。角应变lim(x0y02)

其中是变形后原来正交二线段间的夹角

第二章

拉伸、压缩与剪切

内力为有外力作用引起的，构件内部相互之间的作用力

轴力为轴向拉、压时，杆件横截面上的内力，以FN表示，沿杆件轴线方向 轴向拉伸（压缩）时，横截面上的应力 正应力

FNA（N/m或Pa）

2轴向拉伸（压缩）时，斜截面上的应力 正应力

切应力

FNAFN2Acos sin2 2最大、最小应力

maxmax0FNAFN2A，，min900

45min0,900

轴向拉伸（压缩）时的强度 力学性能指标 a.强度指标：

比例极限

p——应力和应变变成正比的最高应力值 弹性极限

e——只产生弹性变形的最高应力值

屈服极限

s——应力变化不大，应变显著增加时的最低应力值 强度极限

b材料在断裂前所能承受的最高应力值 b.弹性指标：弹性模量Ec.塑性指标：延伸率（N/m2）

100%

L1L0L0

截面收缩率d.冷作硬化

A0A1A0100%

轴向拉伸（压缩）时的强度条件

构件的最大应力不得超过材料的许用应力

maxFNA

（塑性材料SnS,脆性材料bnb）

许用应力是材料容许承受的最大工作应力 []强度计算的三类问题 强度校核 malim极限应力（或破坏应力） n安全系数xFNA

截面设计

AFN 许用载荷计算

FNA（由FN计算F）轴向拉伸（压缩）时的变形与位移 轴向拉（压）时的变形 纵向变形

LL L1纵向应变 LL

FNLEA胡克定律

L或E

横向变形

dd1d（或aa1a）横向应变

'dd（或'aa）

泊松比

'，恒为负值

（横向应变'，轴向应变）

剪切及其实用计算 平均切应力 avgFSAg

FSA 剪切强度条件 av为根据直接试验并按平均切应力计算公式求得的材料的许用切应力

挤压及其实用计算 平均挤压应力 bsFAbsFAbs

强度条件 bsbs

轴向拉伸或压缩的应变能

应变能为省略动能、热能等能量的变化，认为杆件内只储存了应变能 应变能 VW1212FlFl2EA22

应变能密度 v温度应力 T装配应力  E222E

(J/m)

3FABAEAlET

FRBl

第三章

扭转

传动轴转速、传递功率与外力偶矩之间的关系为

Mp9549Pn(Nm)

扭矩

构件受扭时，横截面上的内力偶矩，以T表示。

扭矩的正负号规定右手螺旋法则，扭矩矢量的方向指向截面为负，背离截面为正。扭矩图表示圆杆各截面上的扭矩沿杆轴线方向变化规律的图线。

横截面上的正应力

分布规律

切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其方向与该点的半径相垂直。计算公式 TIp

maxTIpRTWt

极惯性矩与抗扭截面系数

43D

WtD 实心圆截面 Ip3216空心圆截面 Ip32dD(Dd)44D324(1)

Wt4D163(1)

4式中 

TWt[]

TWt[] 圆轴扭转的强度条件 max强度计算的三类问题

强度校核 max

截面设计 WtT[]

许可载荷计算

Me[]

圆轴扭转的变形条件

小变形时，圆轴任意二截面之间仅产生相对角位移变形，称为相对扭转角 相对扭转角 TLGIp(rad)

单位长度相对扭转角 LTGIp(rad/m)圆轴扭转时的刚度条件 矩形截面杆扭转

横截面上最大切应力 maxTGhb3Tmax180[] GIpTahb2

相对扭转角 

第四章

弯曲内力

剪力是与横截面相切的分布内力系的合力，用M表示 弯矩是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，用

FS表示

剪力方程与弯矩方程

构件各横截面上的剪力、弯矩表示为截面的坐标位置x的函数，即表示剪力、弯矩随截面位置而变化的函数关系

FSFSxMMx，载荷、剪力和弯矩间的关系

载荷集度与剪力、弯矩间的微分关系

dFS(x)dx

dM(x)q(x)

FS(x)

dx2

dM(x)

dx2q(x)

载荷集度与剪力、弯矩间的积分关系

x2FS2FS1q(x)dxx1x

2M2M1

SFx1(x)dx

第五章

弯曲应力

梁的正应力、正应力强度条件 梁轴线的曲率与弯矩间的关系

1M(x)EIz(x)

梁横截面上的正应力

分布规律

任一点正应力的大小与该店至中性轴的垂直距离成正比，中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。计算公式 MyIZMmayxmIZMmWZaxax maxMmWZax

梁的正应力强度条件 max强度计算的三类问题： 强度校核 maxMmWZax[]

[]

截面设计 WZMmax

由WZ计算截面尺寸 []许用载荷计算

Mmax[]WZ

由Mmax计算许用载荷 梁的切应力、切应力强度条件

分布规律

切应力方向与剪切力方向平行，大小沿截面宽度均匀分布，沿高度成抛物线变化。计算公式 FSSZbIz*6FSh3FS2

(y)maxh3y2Abh422工字形截面梁的切应力

分布规律

铅垂方向的切应力的分布规律与矩形截面相同 计算公式 FSSZbIZ*FSBbh22

2腹板部分 [(Hh)(y)]

bIZ8242圆形截面梁的最大切应力 计算公式 max4FS3A3R*FSmaSxz梁的切应力强度条件 maxA4FS2

max[]

第六章

弯曲变形

平面弯曲时的变形

在小变形情况下，梁的任意二横截面绕各自的中性轴作相对转动，杆件的轴线变为平面曲线，其变形程度以挠曲线的曲率来量度

1纯弯曲时，弯矩-曲率关系 MEI 1M(x)EI横力弯曲时，弯矩-曲率关系 (x)

挠度——横截面形心在垂直于梁轴线方向上的线位移，以表示 转角——很截面绕其中性轴旋转的角位移，以表示

和的正负号由所选坐标系的正方向来确定。沿y轴正方向的挠度为正。转角的正负号

判定规则为，讲x轴绕原点旋转90而与y轴重合，若和它的转向相同，则为正，反之为负。

d2挠曲线近似微分方程 dx受弯曲构件的刚度条件

2M(x)EI，maxmax

和为规定的许可挠度和转角

积分法求梁的挠度和转角



M(x)

用叠加法求弯曲变形 EIM(x)EIdxC

dxdxCxD

在弯曲变形很小，且材料服从胡克定律的情况下，挠曲线的微分方程是线性的。又因在小变形的前提下，计算弯矩时用梁变形前的位置，结果弯矩与载荷的关系也是线性的。得：

EIddx22

MFMqEId(Fq)dx22

第七章

应力和应变分析

强度理论

主平面

单元体上无切应力作用的平面

主应力

主平面上的正应力。主应力1、

2、3有123 应力状态的分类

单向应力状态

三个主应力中只有一个不为零的应力状态，如轴向拉压杆内一点。

二向应力状态

三个主应力中有两个不为零的应力状态，如薄壁压力容器筒壁内一点。三向应力状态

三个主应力都不等于零的应力状态，如两个物体接触处。

二向应力状态分析的解析法 斜截面上的应力 

xy2xy2cos2xysin2

xy2sin2xcos2

符号规定

主应力以拉应力为正

切应力以对单元体内任一点产生顺时针转向的为正。

方向角以逆时针方向为正

2xy主平面方向 tan2y

x主应力 xy2(xy2)xy

22最大最小应力分别为三个主应力中的两个，对于二向应力状态，有一个主应力必定为零主应力为零的面成为零应力面 最大切应力

max(xy2)xy

22作用面方向 tan2三向应力状态 xy2xy

主应力

123

13最大切应力

max

2最大正应力

max1

1E1E1E最大切应力作用面与2作用面垂直，与

1、3作用面分别成45度角。

x广义胡克定律 y

z[x(yz)] [y(xz)] [y(xy)]

三个弹性常数之间的关系 GE2(1)12

轴向拉压杆的弹性应变能 VFLVV12EFl2EA1222

轴向拉压杆的弹性应变能密度 v三向应力状态下的应变能密度 v体积改变能密度 vV126E

22[12322(122331)]

(123)畸变能密度 vd常用强度理论 16E[(12)(23)(31)]

222第一强度理论

1[]

第二强度理论

1(23)[] 第三强度理论

13[]

12第四强度理论

[(12)(23)(31)][]

222第八章

组合变形

斜弯曲：二相互垂直平面内平面弯曲的组合 应力计算 z强度条件

mxMymaxMIyyzMzIzy

aWyMMzmaxWzM

或max注意：

ymaxIyz1zmaxIzy1

1、危险截面上My和Mz不一定同时达到最大值

2、危险点为距中性轴最远的点。若截面有棱角，则危险点必在棱角处；若截面无棱角，则危险点为截面周边与平行于中性轴之直线的切点

3、中性轴一般地不垂直于外力作用线（或中性轴不平行于合成的弯矩矢量）



tanIzIytan4、若1，则拉压强度均应满足 轴向拉（压）与弯曲组合、偏心拉压

应力计算

xFNAMIyyzMzIz 强度条件

危险点为单向应力状态，mxFNAFNAMymaxaWyMymaxMzmaxWzM

或maxIyz1zmaxIzy1

扭转与弯曲组合（只考虑圆形截面杆）应力计算 MMW，TTWt

因只考虑圆截面杆的扭转与弯曲的组合，圆截面任一直径都是形心主惯性轴，故可先求其合成弯矩

MM2yM2z 然后再计算弯曲正应力。否则，弯曲正应力应按斜弯曲计算 强度条件

危险点在圆截面边缘上 第三强度理论 対圆截面

1WM4T 22M2T22

2第四强度理论

对圆截面

1WM3T

M20.75T2

第九章

压杆稳定

细长压杆临界载荷的欧拉公式 FcrEI(L)2

2或 crE()22

欧拉公式的适用范围

只适用于压杆处于弹性变形范围。压杆的柔度应满足

1Ep2，Li

三类压杆的临界载荷

大柔度杆

1屈曲破坏，其临界载荷由欧拉公式确定 FcrasbEI(L)22

中柔度杆12 屈曲与强度联合破坏，临界载荷

FcrA(ab)小柔度杆2

强度破坏，临界载荷

FcrAs 压杆的稳定条件 nFcrFnst

n为压杆实际具有的工作安全因数，nst为规定的稳定安全因数。

第十章

动载荷

动应力等于静应力乘以动荷因数。强度条件可以写成dKdst

1、作等加速度运动的构件内的动应力（1）等线加速度问题 动应力

dKds t式中st为静应力，Kd为动荷因数

Kd1（2）等角加速度问题 圆轴内最大扭转切应力 mxI0Wtag

a

I0和分别为圆轴上飞轮对轴的转动惯量和旋转角加速度

2.、等角速度旋转构件的动应力（1）薄圆环作等角速度旋转 圆环横截面上的拉应力 dD422

2和分别为圆环的密度和环上任一点的线速度

强度条件

d 2（2）等直杆绕定轴作等角速度旋转 杆横截面上最大拉应力 maxL22212

2和分别为杆的密度和杆端的线速度，L是杆长度

3、杆件受冲击载荷时的动应力

（1）水平冲击

冲击载荷引起的动应力

dKds t式中st为静应力，Kd为动荷因数

Kd2gst

是冲击物的速度，st为静载荷作用时的变形

（2）自由落体冲击

冲击载荷引起的动应力

dKds t式中st为静应力，Kd为动荷因数

2hst

Kd11

式中h是自由落体至被冲击物表面的高度

第十一章

交变应力

应力循环

构件内某定点的应力经历一次完整的变化过程，回复到原来的应力值。循环应力极值

max、min

maxmin平均应力 m 应力幅度 a循环特征

r=2maxm2in

maxmax=-1时称为对称循环；min=0时称为脉冲循环； min影响构件持久极限的主要因素

构件外形的影响

构件外形尺寸的突然变化引起应力集中

有效应力集中因数

K=光滑试件的持久极限/有应力集中试件的持久极限 尺寸大小的影响

构件尺寸增大，材料包含缺陷的可能性增多 尺寸因素

=光滑大试件的持久极限/光滑小试件的持久极限 表面质量的影响

构件表面加工质量影响构件持久极限

表面质量因素

=不同表面质量试件的持久极限/表面磨光试件的持久极限

K1对称循环下构件的疲劳强度校核 nn

max

第十三章

能量方法 杆件基本变形时的应变能 轴向拉压时的应变能 V2FN(x)dxl22EA(x)

扭转时的应变能 VT(x)dxl2GIp(x)2

平面弯曲时的应变能 VM(x)dxl2EI(x)

应变能不能应用力作用的叠加法，杆件应变能与载荷最终值有关，与加载次序无关 杆件组合变形时的应变能 VFN(x)dxl22EA(x)+T(x)dxl22GIp(x)+M(x)dxl22EI(x)

单位载荷法莫尔积分

求结构任一点任一方向位移，在该点施加与所求位移对应的单位载荷 所求位移 FNFNdxlEATTdxlGIpMMdxlEI

力法求解超静定结构正则方程

111X11F0

第十四章

超静定结构

用力法正则方程解三次超静定平面杆系结构 力法正则方程

11X112X213X31F021X122X223X32F0 XXX03223333F311根据位移互等定理，1221，1331，2332。所以柔度系数ij只有6个是独立的。柔度系数ij可用单位载荷法，或图乘法确定。利用对称性条件简化力法正则方程的计算

两种对称性

结构对称——结构的外形尺寸，截面刚性、支座情况都对称

载荷对称——载荷作用点位置及方向对称

不论外力如何作用，只要结构对称，并沿对称轴将超静定结构切开，得到对称的静定基，则必有

12210，23320

所以力法正则方程可简化为 11X113X31F022X20 XX03333F311于是可得X20。这说明，对称结构受对称载荷作用时，在对称截面上的反对称内力必为零。

当结构对称，载荷反对称，并选用对称静定基时，必有1F0，3F0，于是力法正则方程可简化为

1X33011X1

22X2F20

XX0333311只要

1131130

33就必有X10，X30。这说明对称结构作用以反对称载荷，在对称截面上的对称内力必为零。

物理量名称

物理量名称 [符号] 单位名称 [符号] 公式质量 m 千克 kgm=ρv 温度 t摄氏度 °C速度 v米／秒 m/s v =s/t 密度 p千克／米3 kg/m3 ρ=m/v 力（重力） F压强 P功 W 功率： P电流： I 电压：......

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