求偏导数的方法小结_求偏导数的三种方法

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求偏导数的方法小结

（应化2，闻庚辰，学号：130911225）

一，一般函数：

计算多元函数的偏导数时，由于变元多，往往计算量较大． 在求某一点的偏导数时，一般的计算方法是，先求出偏 导函数，再代人这一点的值而得到这一点的偏导数． 我们发 现，把部分变元的值先代人函数中，减少变元的数量，再计 算偏导数，可以减少运算量。

求函数f(x,y)在点（a,b）处的偏导数f’x(a,b)及f’y(a,b)的方法是： 1)先求出偏导数的函数式，然后将（a,b）代入计算即可.2)先求出g(x)=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g’(b),h’(a)便得到f’x(a,b)和f’y(a,b).3)若函数f(x,y)是分段函数则一般采用定义来做.复合具体函数的导数求解:

∂z∂zx=∂u 基本法则：∂∂u∂z∂x+∂v∂u∂y∂v∂x

∂v∂y ∂z∂y∂zu=∂∂zv+∂

其本质与一元函数的求导法则是一样的，只不过是将暂时不求的变量看成常量而已。

例1 ：z=f(x,y)=(x+y)xy,求f’x（1，1），f’y（1，0）；

法一：设u=x+y,v=xy,则z=uv函数的复合关系为：z是u,v的函数，u,v分别是x,y的函数.∂z∂zx=∂u 则：∂∂u∂z∂x+∂v∂v∂x

=xy(x+y)xy-1+y(x+y)xyln(x+y)=y(x+y)[xy

x(xy)+ln(x+y)] f(x,y)= y(x+y)[’xxy

x(xy)+ln(x+y)] 所以：f’x(1,1)=1+2ln2 由于f(x,y)的表达式中的 x,y依次轮换，即x换y成，同时将换y成x，表达式不变，这叫做函数f(x,y)对自变量x,y交换具有轮换对称性。具有轮换对称性的函数，只要在f’x的表达式中将x,y调换即得到f’y。即：f’y（x,y）= y(x+y)[xyx(xy)+ln(x+y)] 所以f’y（1，0）=0 法二：由于和一元函数的求导的实质是一样的。我们可以不引入中间变量，对某一自变量求导时，只要把其他自变量看成常数即可。如： Lnz=xyln(x+y)上式两边求导得：z∂zx∂x=y[ln(x+y)+(xy)] ∂zxx=z y[ln(x+y)+(xy)] 从而：∂所以：f’x(1,1)=1+2ln2 有函数的对称轮换性得：f’y（1，0）=0 例三：我们也可以利用全微分的不变性来解题。

∂z∂zyx+∂ 设z=eusin(v),而u=xy,v=x+y。求∂在（1，1）处的值。dz=d(eusin(v))= eusin(v)du+eucos(v)dv du=d(xy)=ydx+xdy dv=d(x+y)=dx+dy 代入后合并同类项得：

dz=(eusin(v)y+eucos(v))dx+(eusin(v)x+ eucos(v))dy将点（1，1）代入得：

∂z∂zyx+∂ ∂=2e(sin2+cos2).二，隐函数的求偏导。求隐函数的偏导时，我们一般有两种方法选择：

1)公式法

2)对函数两边直接求导。（但必须明确谁是谁的函数）。然后按复合函数求导法则来求。

例一：方程组{xyzox2y2z2a2（注：x2为x的平方）

法一：题中有3个自变量，明确了x=x(z),y=x(z),既z是自变量。我们可以利用公式求但比较繁。我们可以采用下面的方法： 法二：对方程组两边对求z导得：

{ dxdy10dzdzdyzxdx2y2z0dzdz

求得此解得： dxdzyzdyzx=xy，dz=xy

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