河北衡水中学届高三上学期第五次调研考试 数学理试题 Word版含答案_衡水中学高三调研试题

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2013—2014学年度第一学期高三年级五调考试

数学（理）试卷

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1.设i是虚数单位，则复数

i

－1＋i的虚部是()A.－i2B．－11i22D．

22.已知命题p:xR,x2lgx，命题q:xR,x20，则()

A.命题pq是假命题B.命题pq是真命题 C.命题p(q)是真命题D.命题p(q)是假命题

3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为（）m

3．A．

B.92C．

D.44．以下四个命题中：

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率 为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8 ；

④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握 程度越大．

其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．

45.已知等比数列{

an}的公比q2,且2a4,a6,48成等差数列,则{an}的前8项和为()

A．127

B．25

5C．51

1D．1023

6．程序框图如图所示：

如果上述程序运行的结果S＝1320，那么判断框中应填入()A．K＜10?B．K≤10?C．K 9?D．K≤11? 7.已知sin(



3)sin20,则cos(2

3)等于（）A.

5B.335C.4

D.5

8.已知菱形ABCD的边长为4，ABC1500，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（）A.4B.1

C.8D.18

a,x1

9.函数f(x)12|x1|若关于x的方程2f(x)(2a3)f(x)3a(2)1,x10有五个不同的实数解,则a的取值范围是（）

A.(1,2)B.(1,33332)(2,2)C.[2,2)D.(1,2)10.已知向量a，b，c满足|a||b|ab2，(ac)(b2c)0，则|bc|的最小值为（）

A

B

C

D

x2y2

11.已知双曲线a2b21的左右焦点分别为F1、F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，PF1F2的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e

为双曲线的离心率，则()

A.|OB|e|OA|B.|OA|e|OB|C.|OB||OA|D.|OA|与|OB|关系不确定

12．数列{an}共有12项，其中a

10，a52，a125，且ak1ak1,k1,2,3,11，则

18.（本小题满分12分）某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外

形一样号码分别为1，2，3，„，10的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，满足这种条件的不同数列的个数为（）

A.84B.168C.76D.1

52第Ⅱ卷非选择题（共90分）

二、填空题（每小题5分，共20分.每小题的答案填在答题纸的相应位置）13.已知(xm)7

a

270a1xa2xa7x的展开式中x的系数是－35，则a1a2a3a714.已知f(x)是R上的减函数，A(3，-1)，B(0，1)是其图象上两个点，则不等式|f(1lnx)|1 的解集是__________

15.已知抛物线y22px(p0)上一点M（1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2



y

a

1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=

16.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AC1、A1B1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于．

三、解答题（共70分.解答应写在答题纸的相应位置，并写出必要的文字说明、推理过程）17.（本小题满分12分）已知圆O的半径为R(R为常数),它的内接三角形ABC满足

2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB成立,其中a,b,c分别为A,B,C的对边,求三角形ABC面积S的最大值.10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金。（1）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；

（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？

19.（本小题满分12分）直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，BAD60,A1AAB,E为BB1延长线上的一点，D1E面D1AC.设AB2.(Ⅰ)求二面角EACD1的大小；

(Ⅱ)在D1E上是否存在一点P，使A1P//面EAC?

若存在，求D1P:PE的值;不存在，说明理由

.且

21.（本小题满分12分）已知函数fx

ax2a12xaa12x



e(其中aR).(Ⅰ)若x0为

fx的极值点,求a的值；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,解不等式fxx112

2xx1；

(Ⅲ)若函数fx在区间1,2上单调递增,求实数a的取值范围.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）

已知AB为半圆O的直径，AB4，C为半圆上一 点，过点

C作半圆的切线CD，过点A

作ADCD于D，交圆于点E，DE1．（Ⅰ）求证：AC平分BAD；（Ⅱ）求BC的长．

23.（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为x

（为参数）。以原点

y

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P(3,)，直线l的极坐标方程为

2cos(6)

（1）判断点P与直线l的位置关系，说明理由；

（2）设直线l与直线C的两个交点为A、B，求|PA||PB|的值。

24.（本小题满分10分）已知函数f(x)

|x1|（1）解不等式f(x)f(x4)8;

2013—2014学年度第一学期高三年级五调考试

数学（理）答案

一、选择题：BCCBB ACDBACA

二、填空题：1(1e，e2)

12三、解答题：17.解:由2R(sin2

Asin2

C)(2ab)sinB,4R2(sin2Asin2C)2R(2ab)sinB

由正弦定理得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC代入得

a2

c2

2abb2,由余弦定理cosC

a2b2c22ab2, C

,AB

3

.---6分 所以S

1222absinC4ab4

4R2sinAsinB =2R2

sinA3224)2R(sin2A4)R2

A2

当且仅当AB

时,Smax212

R.-------------------------12分 18.解：（1）甲抽奖一次，基本事件的总数为C310

=120 奖金ξ的所有可能取值为0，30，60，240.一等奖的情况只有一种，所以奖金为120元的概率为

P(ξ=240)=

1120

三球连号的情况有1，2，3；2，3，4;……8,9,10共8种 得60元的概率为P(ξ=60)=

8120115

仅有两球连号中，对应1，2与9，10的各有7种；对应2，3；3，4；……8，9各有6种。得奖金30的概率为P（ξ=30）=72677

12015

奖金为0的概率为P（ξ=0）=111711

1201515

ξ的分布列为：

E

（2）由（1）可得乙一次抽奖中中奖的概率为P=

11113

24

四次抽奖是相互独立的。所以中奖次数η～B（4，13

24）故D

4

1311143

2424

144

19.解：(Ⅰ)设AC与BD交于O，如图所示建立空间直角坐标系Oxyz，则AB(0,1,0),C(D(0,1,0),D1(0,1,2),设E(0,1,2h),

则D1E(0,2,h),CAD1A2),D1E平面D1AC,D1EAC,D1ED1A,2

2h0,h1,即E(0,1,3)„„„„„„„„2分

D(0,2,1),AE(设平面EAC的法向量为m

1E(x,y,z)

mCA,得x0令mAE,y3z0z1 平面EAC的一个法向量为m

(0,3,1)

又平面Dcosm,DmD

1AC的法向量为D1E(0,2,1),1E|m||1ED1E|

二面角EACD1大小为45„„„„„„„„„„„„„„„„6分

(Ⅱ)设D

21PPE(D1ED1P),得D1P1D1E(0,1,),A1

(0,211PA1D1D1P(1,0)

A1,1)(1,1)„„10分

13

1P//面EAC,A1Pm,031(1)10,2, 存在点P使A1P//面EAC,此时D1P:PE3:2„„„„„„„„„12分

21.【解析】(Ⅰ)因为

fxax2a12xaa12

ex

fx2axa12exax2a12xaa1222



exaxa1

xaex„2分

因为x

0为fx的极值点,所以由f0ae00,解得a0„„„„„3分

检验,当a0时,fxxex,当x0时,fx0,当x0时,fx0.所以x

0为fx的极值点,故a0.„„„„„4分

(Ⅱ)当a

0时,不等式fxx111

2x2x1x1exx12x2x1,x整理

得x1xe122x

1x,0即10

或

ex12

2xx10



x10

„6分 x12



e2xx10

令gxex

12x2x1,hxgxexx1,hxex1,当x0时,hxex10；当x0时,hxex

10,所以h

x在,0单调递减,在(0,)单调递增,所以hxh00,即gx0,所以gx在R上单调递增,而g00；

故e

x

1x2x10x0；ex1x2

22x10x0, 所以原不等式的解集为xx0或x1；„„„„„8分

(Ⅲ)当a0时,fxax2a2

1xa

ex因为x

1,2,所以fx0,所以fx在1,2上是增函数.当a0时,fxaxa



x1aex, x1,2时,fx是增函数,fx0.① 若a1,则fxaxax1aex0x1a,a1

,由1,2a,a

得

a2；

② 若

1a0,则

fxaxa1

1xaex0x

a,a

,由

1,2a,

1

a

得

a0.2

2x

③ 若a1,fxx1e0,不合题意,舍去.综上可得,实数a的取值范围是

＝(ab－2ab＋1)－(a－2ab＋b)＝(a－1)(b－1)＞0，所以|ab－1|＞|a－b|．故所证不等式成立．

10分

2222

,2

1,„„12分(亦可用参变分离求解).2

2分

22．解：（Ⅰ）连结AC，因为OAOC，所以OACOCA，因为CD为半圆的切线，所以OCCD，又因为ADCD，所以OC∥AD，所以OCACAD，OACCAD，所以AC平分BAD． ····· 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知BCCE，······················ 6分 连结CE，因为ABCE四点共圆，BCED，所以cosBcosCED，· 8分 所以

23.解：（1）直线l:2cos(

DECB

，所以BC2． ··················· 10分 CEAB

)

cossin6

 直线l

yP(0,3)在直线l上。5

1xtx2y22

1（2）直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的直角坐标方程为

515y将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，有3(t)1)15,t22t80，设两根为t1,t2，PAPBt1t2t1t28810

－2x－2，x＜－3，－3≤x≤1，（24）解：（Ⅰ）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝4，2x＋2，x＞1．

当x＜－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；当－3≤x≤1时，f(x)≤8不成立；

当x＞1时，由2x＋2≥8，解得x≥3． „4分 所以不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤－5，或x≥3}．

b

（Ⅱ）f(ab)＞|a|f(，即|ab－1|＞|a－b|．

„5分 „6分

a

因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab－1|－|a－b|

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