届高三数学一轮复习《导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式》理_导数不等式一轮复习

届高三数学一轮复习《导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式》理由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“导数不等式一轮复习”。

[第15讲 导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式]

(时间：45分钟 分值：100分)

基础热身

x1．[2013·韶关调研] 函数y＝xe的最小值是()

1A．－1B．－eC．不存在 e

322．f(x)＝x－3x＋2在区间[－1，1]上的最大值是()

A．－2B．0C．2D．4

3．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间

1332629关系可近似地用如下函数给出：y＝－t－t＋36t则在这段时间内，通过该路段用844

时最多的时刻是()

A．6时B．7时C．8时D．9时

4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y13＝－x＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()3

A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件

能力提升

5．一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，盒子容积的最大值是()

3333A．12 cmB．15 cmC．18 cmD．16 cm

26．[2013·湖南卷] 设直线x＝t与函数f(x)＝x，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()

152A．1B.D.222

37．[2013·全国卷] 已知函数y＝x－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝()

A．－2或2B．－9或3

C．－1或1D．－3或1

8．已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()

A．1B.3C．2D．3

9．[2013·辽宁卷] 若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是()

1112x2A．e≤1＋x＋xB.1－x＋x 241＋x

1212C．cosx≥1D．ln(1＋x)≥x－ 2810．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为

________．

ex＋1ex

11．[2013·厦门质检] 设函数f(x)＝，g(x)＝x，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，xe

g（x1）f（x2）不等式k的取值范围是________．

kk＋1

12．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售

量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P.则该商品零售价定为________时，毛利润L最大，最大毛利润是________(毛利润＝销售收入－进货支出)．

13．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，（梯形的周长）记S＝S的最小值是________．

梯形的面积

14．(10分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位： cm)满足关系：C(x)＝

k

(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用3x＋5

与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

15．(13分)[2013·河北重点中学联考] 已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x＋ax－2.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；

(2)若函数y＝f(x)＋g(x)有两个不同的极值点x1，x2(x1＜x2)且x2－x1＞ln2，求实数a的取值范围．

难点突破

16．(12分)已知函数f(x)＝lnx－(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；

ax

(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为a的值；

(3)试求实数a的取值范围，使得在区间(1，＋∞)上，函数y＝x的图象恒在函数f(x)的图象的上方．

课时作业(十五)

【基础热身】

x

1．C [解析] y′＝(x＋1)e，令y′＝0，得x＝－1.因为x－1时

y′>0，所以x＝－1时，ymine

2．C [解析] f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或2(舍去)，当－1≤x0，当0

3233

3．C [解析] y－＋36＝－(t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)

828

或t＝8，当6≤t0，当8

4．C [解析] 因为y′＝－x＋81，所以当x>9时，y′0，所以

函数y＝－＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x＝9是函

数的极大值点．又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．

【能力提升】

5．C [解析] 设小正方形的边长为x cm，则盒子底面长为8－2x，宽为5－2x.V＝(8

510322

－2x)(5－2x)x＝4x－26x＋40x0

23

(舍去)，则V极大值＝V(1)＝18，且在定义域内仅有一个极大值，∴V最大值＝18.6．D [解析] 用转化的思想：直线x＝t与函数f(x)＝x，g(x)＝lnx图象分别交于M，N，而|MN|的最小值，实际是函数F(t)＝t2－lnt(t>0)时的最小值．

122

令F′(t)＝2t－＝0，得t＝或t＝－舍去)．

t2222

F(t)＝t－lnt有最小值，即|MN|达到最小值，故选D.2

7．A [解析] 由f′(x)＝3x－3＝3(x＋1)(x－1)＝0⇒x＝±1，结合f(x)的图象可知只要f(－1)＝0或f(1)＝0即可，故解得c＝－2或2，故选A.1222

8．C [解析] 设底面边长为a，则高h＝SA－a＝12－2，所以体积V

22

故t＝121

＝h＝33

164

12a－a.21643535

设y＝12a－a，则y′＝48a－3a，当y取最值时，y′＝48a－3a＝0，解得a＝0(舍

212

12－a＝2.332

9．C [解析] 验证A，当x＝3时，e>2.7＝19.68>1＋3＋3＝13，故排除A；验证B，去)或a＝4，故a＝4时体积最大，此时h＝

当x＝2

6111113391 5211 536166而1＋＝＝故排除B；

***3

1＋

验证C，令g(x)＝cosx－1＋x，g′(x)＝－sinx＋x，g″(x)＝1－cosx，显然g″(x)>0

恒成立，所以当x∈[0，＋∞)时，g′(x)≥g′(0)＝0，所以x∈[0，＋∞)时，g(x)＝cosx－11212

＋为增函数，所以g(x)≥g(0)＝0恒成立，即cosx≥1－恒成立；验证D，令h(x)＝22

121xx（x－3）

ln(1＋x)－x＋x，h′(x)＝1h′(x)

8x＋144（x＋1）

0

4V4V3243V3

10.4V [解析] 设底面边长为x，则高为h＝∴Sx＋2×x＝22

4x3x3x＋32，2

43V3

∴S′＝－23x，令S′＝0，得x＝4V.x

333

当04V时，S′>0，故当x＝4V时，S取得最小值． 11．k≥1 [解析] ∵k为正数，g（x1）f（x2）g（x）≤f（x）∴对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立⇒kk＋1kmaxk＋1

.min

x＋2

e（1－x）

由g′(x)＝＝0得x＝1.e

x∈(0，1)，g′(x)>0，x∈(1，＋∞)，g′(x)

ex－11

同理f′(x)＝0⇒x＝，2

xe

11x∈0，f′(x)0，ee

1f

f（x）＝e2ee2e，k>0⇒k≥1.∴kk＋1k＋1mink＋1k＋1

12．30 23 000 [解析] 由题意知L(P)＝P·Q－20Q＝Q(P－20)

＝(8 300－170P－P)(P－20)

＝－P－150P＋11 700P－166 000，∴L′(P)＝－3P－300P＋11 700.令L′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍)．

因为在P＝30附近的左侧L′(P)>0，右侧L′(P)

根据实际意义知，L(30)是最大值，此时L(30)＝23 000.即零售价定为每件30元时，有最大毛利润为23 000元．

323 [解析] 设DE＝x，由ED∥BC，△ABC为正三角形，AD＝DE＝AE＝x，BD＝EC

－x)，梯形的周长为BD＋DE＋EC＋BC＝3－x，梯形的面2

＝1－x.过D作DF⊥BC，DF＝

133（3－x）2

积为(x＋1)×(1－x)＝－x)．S＝(0

x

22432

（1－x）4

24（2x－6）（1－x）－（34（2x－6）（1－3x）S，2222

（1－x）（1－x）331

令S′＝0，解得x＝3(舍去)，311132300，∴x＝时，Smin.3333

14．解：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝3x＋5

再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝3x＋5

而建造费用为C1(x)＝6x.所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

40800

f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝6x(0≤x≤10)．

3x＋53x＋54002 400

(2)f′(x)＝6－f′(x)＝0，即6.（3x＋5）（3x＋5）25

解得x＝5或x＝－(舍去)．

当00，故x＝5是f(x)的最小值点，对应

800的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.15＋5

故当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元．

15．解：(1)由题意f′(x)＝lnx＋1＝0，得x＝.e

111①当0

11此时函数f(x)在[t，t＋2]上的最小值为f.ee

②当t≥时，函数f(x)在[t，t＋2]上单调递增，e

此时函数f(x)在[t，t＋2]上的最小值为f(t)＝tlnt.(2)由题意y＝f(x)＋g(x)＝xlnx－x＋ax＋2，则y′＝lnx－2x＋a＋1，知y′＝lnx－2x＋a＋1＝0有两个不同的实根x1，x2，等价于a＝－lnx＋2x－1有两个不同的实根x1，x2，等价于直线y＝a与函数G(x)＝－lnx＋2x－1的图象有两个不同的交点．

111由G′(x)＋2，知G(x)在0上单调递减，在上单调递增，x22

画出函数G(x)图象的大致形状如图，k

1由图易知，当a>G(x)min＝G＝ln2时，2

x1，x2存在，且x2－x1的值随a的增大而增大． 而当x2－x1＝ln2时，lnx1－2x1＋a＋1＝0，由题意得

lnx2－2x2＋a＋1＝0.

两式相减可得ln2(x2－x1)＝2ln2，得x2＝4x1，4

代入x2－x1＝ln2得x2＝4x1，2ln2此时实数aln2－ln－1，33

2ln2所以实数a的取值范围为a>ln2－ln－1.33

【难点突破】

1ax＋a

16．解：(1)f′(x)＋22(x>0)．

x2x1

xxx

当a>0时，f′(x)>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)由f′(x)＝0得x＝－a.①当a≥－1时，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为增函数，33

f(x)min＝f(1)＝－a＝a＝－(舍)．

②当a≤－e时，f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为减函数，a3e

则f(x)min＝f(e)＝1－＝a(舍)．

e22

③当－e

当10，f(x)在(x0，e)上为增函数．

∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，得a＝－e，2综上知，ae.(3)由题意得x>lnx－在(1，＋∞)上恒成立，即a>xlnx－x在(1，＋∞)上恒成立．

设g(x)＝xlnx－x(x>1)，则g′(x)＝lnx－3x＋1.12

令h(x)＝lnx－3x＋1，则h′(x)＝6x，32

ax

x

当x>1时，h′(x)

∴h(x)＝g′(x)＝lnx－3x＋1在(1，＋∞)上为减函数，则g′(x)

所以g(x)在(1，＋∞)上为减函数，∴g(x)

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