浅谈函数极限的求法_函数极限的几种求法

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浅谈函数极限的求法

摘要：函数极限是数学分析的基本内容之一，也是解决其它问题的基础。如何求出已知函数的极限是学习微积分必须掌握的基本技能。本文系统地介绍了利用定义、两个重要极限、无穷小量代换、洛必达法则、夹逼准则等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题中常遇见的一些问题。

关键词: 函数极限夹逼准则等价无穷小量洛必达法则泰勒展开式无穷小量

引言

极限研究的是函数的变化趋势，在自变量的某个变化过程中，对应的函数值无限解决某个确定的数，那这个数就是函数的极限了。极限是数学分析中一个非常重要的概念，是贯彻数学分析的一条主线，它将数学分析的各个知识点连在一起，所以，求极限的方法显得尤为重要的，我们知道，函数是数学分析研究的对象，而极限方法则是数学分析中研究函数的重要方法，因此怎样求极限就非常重要。

数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例。因此，本文只就函数极限进行讨论。函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决。求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法。在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。本文给出了十七种求极限的方法，每种方法都是以定理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法。下面我们通过对一元函数和二元函数极限的求法来进行分类讨论

一元函数极限的求法

1.1利用函数定义求极限

利用函数极限的定义验证函数的极限。设函数f在点x0的某空心邻域，使得当U0(x0;)内有定义,A为定数。若对任给的0，存在正数（）

0xx0时，有f(x)A成立，则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作limf(x)A或f(x)A(xx0)。xx0

x24例1设f(x),证明limf(x)4.x2x

2x244x24x2，证明: 由于当x2时，f(x)4x2

故对给定的0，只要取，则当0x2时，有f(x)4.这就证明了limf(x)4.x2

(1)定义中的正数，相当于数列极限N定义中的N，它依赖于，但也不是由所惟一确定。一般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小一些也无妨，如在题1中可取

2或

3等等。

(2)定义中只要求函数f在点x0的某个空心领域内有定义，而一般不考虑f在点x0处的函数值是否有定义，或者取什么值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于x0过程中函数值的变化趋势。如在题1中函数f在点x2是没有定义的，但当x2时,f的函数值趋于一个定数。

1.2 利用单侧极限求函数极限

这种方法适用于求分段函数在分段点处的极限。首先必须考虑分段点处的左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。如符号函数sgnx，由于它在x0处的左、右极限不相等，所以limsgnx不存在。x0

f(x)limf(x)A.定理1 limf(x)Alimxx0xx0xx0

2xx0例2 ： f(x)0 x0,求f(x)在x0处的极限.1x2x0

f(x)lim2x1，解: limx0x0

f(x)lim1x1，limx0x0

2f(x)limf(x)1， limx0x0

 limf(x)1.x0

1.3 利用函数极限的四则运算法则求极限

定理2 若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)g(x)，f(x)g(x)，xx0xx0

当xx0时也存在极限，且有

①limxx0

xx0f(x)g(x)limf(x)limg(x)； xx0xx0xx0xx0②limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)；

limf(x)f(x)f(x)xx0③又若limg(x)0，则在xx0时也存在极限，且有lim.xx0xx0g(x)g(x)limg(x)

xx0

利用函数极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限都存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如0，等情况，都不能直接用四则运算法0

则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握因式分解、有理化运算等恒等变形。

(xtanx1).例3：求limx4

解: 由xtanxxsinx2及limsinxsinlimcosx，有 xxcosx42lim(xtanx1)=limxx4limsinxx4xlimcosxxlim1x41.1.6 利用函数的连续性求函数极限

参考文献:

[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 陈传璋,朱学炎等.数学分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1998.[3] 张再云，陈湘栋等，极限计算的方法与技巧[J].湖南理工学院学报(自然科学版),2009,22(2):16-19.[4]欧阳光中.数学分析[M].上海：复旦大学出版社，2002.[5]钱吉林.数学分析解题精粹[M].武汉：崇文书局出版社，2001

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