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二元函数极限的求解方法

关于二元函数极限求法的探讨:

在二元函数Z=f(x,y)的极限问题中，自变量的变化情况较一元函数复杂得多。因此，f(x,y)的定义域是XOY平面上的一个区域，动点(x,y)趋于定点

(x0,y0)的路径可以是多种多样的，只有当动点(x,y)沿着任

意路径趋于定点(x0,y0)，函数f(x,y)总是趋于某数A时才

能称A为f(x,y)当xX0,yY0时的极限。因此二元函数的极

限比一元函数的极限复杂得多且难求。本文总结了计算二元函数极限的方法，并通过例题作出一些说明。

一、利用二重极限的定义“”

运用此方法，可以先通过求累次极限或方向极限或观察的方法，先找出某一个数，然后用“” 定义去证明这个数就是二重极限的值。

例1设f(x,y)=

解| f(x,y)-0|=

故0,取

x0,y0xyxy|xy|22f(x,y)。,求xlim0,y01x2y21x2y2x2y22x2y22 1 22,当0x2y2时，有| f(x,y)-0|limf(x,y)0

二、运用连续函数的性质

当二元函数f(x,y)在点(x。，y。)连续时，x0,y0

limf(x,y)f(x0,y0)。所以，求f(x,y)当xx0,yy0时的极限，只要求出函数在该点的的函数值即可。

例2计算xlim

0,y0

解

ln(xey)xyxy

2ln(xey)

在(0,1)点连续，lne

1

1lim

ln(xey)x2y2

x0,y0

三、变量代换

（1）利用一般的变量代换，化为一元函数的极限。

lim(xy)me(xy)(m是一个确定的自然数)例3 求 x

0,y0

解 令t=x+y,则当x,y,时t

x,y

lim(xy)e

m(xy)

tm

limt0 te

（2）用不等式“夹挤”，化为一元函数的极限

lim例4 计算x,y

(xy)ln(x2y2)

解：

|(xy)ln(x2y2)|(|x||y|)|ln(x2y2)|2x2y2|ln(x2y2)|2|ln2|4|ln|

其中x2y20且lim4|ln|

0

lim(xy)ln(x2y2)0

x0,y0

（3）若已知f(x,y)在点(x。,y。)存在极限，可做变换：xx。cosyy。sin,02,(xx。)2(yy。)

2有limf(x,y)limf(x。cos,yy。sin),其中当0时等

x0,y0

0

号右端f(x。cos,yy。sin)存在关于[0,2]的“一致极限”(注)，从而二元函数的极限化为一元函数的极限

注：定理

xx。，yy。

lim

f(x,y)A当(xx。)2(yy。)20时

函数f(x。cos,yy。sin)关于[0,2]一致极限是A，即

0,0,:0,[0,2]|f(x。cos,yy。sin)A|

.四、若所求极限具有

(x,y)(x。,y。)

lim

f(x,y)g(x,y)的形式，并且在（x,y）(x。,y。)的过程中

呈现出某种不定型（如1，00，0），可以用先求对数后求极限的方法来求极限例6求

（x,y）(0,0)

lim

(x2y2)x

y

2解：设z(x2y2)x

(x,y)(x。,y。)

y2,则lnzx2y2ln(x2y2),0

lim

x2y2ln(x2y2)limx2y2ln(x2y2)

x2y20,不妨设02x2y2

1lim

[（x2y2）ln(x2y2)]

x2y2x2x2y21,ln(x2y2)0

0x2y2ln(x2y2)(x2y2)ln(x2y2),而lim(2ln2)0

0

(x,y)(x。,y。)

lim[x2y2ln(x2y2)]0

0



(x,y)(x。,y。)

lim

x2y2ln(x2y2)e01

五、利用分子或分母有理化

例7求

2xy

4（x,y）(0,0)xylim

（2xy4）(2xy4)

xy(2xy4)

1x0,y0

解：原式limlim

lim

xyxy(2xy4)

x0,y0

1xy(2xy4)

x0,y0

六、判断f(x,y)在点(x。,y。)出极限不存在的方法

在证明函数f(x,y)在点p。(x。,y。)处极限不存在的问题中，通常是取得特殊路径来说明。（1）利用累次极限

若f(x,y)当（x,y）(x。,y。)时的二重极限存在且为A,并且它的累次极限也存在且为B,那么AB。因此，如果两个累次极限均存在，但不相等，则二重极限不可能存在。

xyx2y2

例8f(x,y),证明：limf(x,y)不存在。

（x,y）(0,0)xyy2-y

证：limlimf(x,y)lim1

y0x0y0yx2xlimlimf(x,y)lim1y0x0x0xlimf(x,y)不存在。

（x,y）(0,0)

（2）令y=（x）或（x=（y）），这里y=（x）是f(x,y)的定义域D上的任意连续曲线，并且

（x，y）（x。，y。）

lim（x）y。那么，若

x0

lim

f（x，y）A。如出现矛盾，则极限不存在。

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