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几何画板在教学中的应用
新都区龙安中学
骆春梅
几年来我在数学学科的”整合”实践中，应用”几何画板”的辅助教学实验获得了一些经验，尤其在培养学生”创新思想”和”实践能力”方面，取得了一些成效。下面我将作一些介绍。
1.在动态中表达几何关系的图版
“几何画板”是美国软件“The Geometer’s Sketchpad”的汉化版，打开“几何画板”后我们看到的界面，就像一块黑板。图版的左侧是一列工具图标：移动、画点、画圆、画线、和文字工具。可以用这些工具按照尺规作图的法则画出各种几何图形。
画出的图形与黑板上的图形不同是动态的,在动态中保持设定的几何关系不变。在画板上任意取A、B、C三点，连接成三角形同时作出AB边上的中点D。此时利用“移动”工具拉动A点就看到了一个变化着的三角形，在变化中D点保持为AB线段的中点。
同样可以拉动B、C两点或是移动三角形的边（亦能运用一些技巧让某几个元素同时移动）。如果作出三角形ABC三条边上的中线，就可以在这种动态变化中清楚观察到“任意三角形三中线交于一点”的现象。过去讨论这一条几何定理是必须依靠逻辑证明的，现在利用“几何画板”可以根据观察来确认这个事实。
还可以利用系统提供的其它功能(例如度量的功能,动态地观察有关的数据)，来发现图形中存在的规律和各种关系。就是可以用一种区别于传统手段的，全新的、更加直观的过程来学习几何。
2.探索性学习的直观环境
过去我们讨论同一个圆内，对应一段弧的圆周角与圆心角的关系，必需要靠证明。现在可以：在圆O上任意作出C、D、E三点，得到圆周角CDE和圆心角COD；度量出它们的角度，就能看出是圆周角为圆心角的一半。然后在圆上移动E点，度量的值将随着E点的移动而变化，总能看到圆周角是圆心角的一半的关系。我们还可以移动D点，将看到所有的度量值不变化。其实这也是一个定理：“同弧上的圆周角相等”。当D点移动到与C、O在同一直线上时，就是证明圆周角有关定理的特殊位置。这说明利用“几何画板”对图形观察的过程中，也是可能启发我们得到进行逻辑证明的思路。圆O的大小和位置也是能够变化的，从而保证了动态观察和分析的普遍性。
上述过程可以是在教师的指导下，由学生独立或分组进行观察和分析，不必用教师讲学生听的传统教学方式进行。这就实现了又充分发挥教师的主导作用、又使学生成为学习的主体，是一个探索性学习的直观环境，是一种新型的教学模式。
其实“几何画板”提供的动态几何环境，不仅一般地帮助学生直观地去理解教师指定的图形或问题。而是能为学生提供了一个培养创造能力的实践园地。甚至可以让他们对一些“异想天开”设想的几何图形系统，实施动态的观察和分析研究。在圆O上任取一点E和圆外一点F作一线段，过线段中点G作垂线，若E点在圆上运动则垂线将跟随着运动，我们想知道垂线的运动规律。在这个设定的条件下，是可以讨论（推导）出某些结果的，但是对一般的学生（甚至对教师）来讲实在是要求太高了，在传统的学习环境下无论是观察和推导都很困难。
现在就不一样了，可以在“几何画板”上让E点在圆上移动，同时跟踪（使垂线现出轨迹）观察垂线的运动看看出现什么，然后再作进一步的分析和思考。分别让F点在圆外较远处、较近处、F点在圆内，三种不同位置在图上留下的垂线轨迹。看到这些直观图不难产生一些猜想：直线轨迹的包络线是二次曲线族（椭圆、双曲线、抛物线）？同学和教师可能有能力进一步的分析和讨论，发现这组图形中许多有趣的现象和规律。
学生还可以在平时解几何问题时，根据给定的已知条件，用“几何画板”作出草图然后去求解。由于在“几何画板”上作出的草图不但准确而且是“动态的”，学生可能在它的动态变化中的某些特殊位置，找到求解的思路。
3.培养创造性能力的实践园地
在使用“几何画板”给予学生探索性学习的环境以后，我们看到了培养他们创新精神和实践能力的奇特效果。其实“几何画板”提供的动态几何环境，不仅一般地帮助学生直观地去理解教师指定的图形或问题。而是能为学生提供了一个培养创造能力的实践园地。甚至可以让他们对一些“异想天开”设想的几何图形系统，实施动态的观察和分析研究。
初中几何课本中的一个习题，从圆O任意一条弦的中点E作两根直线与圆交得四个点，连接两条线段后得图形像一只蝴蝶，两线段与弦分别交于L、M两点则有：LE=EM，即蝴蝶两翼截得的线段相等，称为“蝴蝶定理”。
有这样一位同学，他不满足于一般的证明完成这个练习。首先他使用“几何画板”的”度量”功能，通过移动E点观察两线段长度确实相等，“看到了”定理是成立的。他加了一个同心圆，两圆与直线交得八个点，连接得一扩展的蝴蝶，其两翼与弦交得四点。他猜想左侧线段SE、TE与右侧线段EU、EV也应该有某种等式关系。他猜想可能有SE + TE = EU + EV 或SE * TE = EU * EV 这样的猜想并不稀奇，但在传统的学习环境下这些猜想很难证实或否定，最后只能不了了之掩灭了创造的火花。现在他利用“几何画板”度量了这些线段的长度，并进行了计算，计算的结果否定了他的两个猜想。这位同学没有停止探求，在他锲而不舍的努力下终于找到了它们之间的等式关系。利用“几何画板”的度量和计算，找到了这个有趣的关系式并完成了证明，他命名其为“广义蝴蝶定理”。此后他还对这个图形进行了更多的扩展和深入的分析研究，这是一个多么令人兴奋的成果啊！
中学生在学习的过程中的发现是否有价值并不重要,运用”智能教学工具平台培养了他的创新精神和创造性思维的能力，是很有意义的。其实，在目前已经知道的学生或学生与教师共同运用“几何画板”安排探索性教、学的过程中，一些创新的命题和成果，也有很多是有价值的。
我们正继续进行运用”几何画板”等”平台”,推广计算机辅助中学数学教学的实验，希望能够有所突破，找到有效的实现计算机辅助数学教学的途径和模式。并总结在数学教学中培养学生创新精神和实践能力的方法和经验。
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