数据包络分析(讲稿1)_数据包络分析讲义

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DEA讨论学习第一次课（草稿）

DEA概述

一、数据包络分析（DEA）发展

在人们的生产活动和社会活动中常常会遇到这样的问题：经过一段时间之后，需要对具有相同类型的部门或单位（称为决策单元）进行评价，其评价的依据是决策单元的“输入”数据和“输出”数据，输入数据是指决策单元在某种活动中需要消耗的某些量，例如投入的资金总额，投入的总劳动力数，占地面积等等；输出数据是决策单元经过一定的输入之后，产生的表明该活动成效的某些信息量，例如不同类型的产品数量，产品的质量，经济效益等等．再具体些说，譬如在评价某城市的高等学校时，输入可以是学校的全年的资金，教职员工的总人数，教学用房的总面积，各类职称的教师人数等等；输出可以是培养博士研究生的人数，硕士研究生的人数，大学生的人数，学生的质量（德，智，体），教师的教学工作量，学校的科研成果（数量与质量)等等．根据输入数据和输出数据来评价决策单元的优劣，即所谓评价部门（或单位）间的相对有效性．

1978年由著名的运筹学家A.Charnes,W.W.Cooper和 E.Rhodes首先提出了一个被称为数据包络分析（Data Envelopment Analysis，简称DEA）的方法，去评价部门间的相对有效性（因此被称为DEA有效）．他们的第一个模型被命名为CCR模型．从生产函数角度看，这一模型是用来研究具有多个输入、特别是具有多个输出的“生产部门”同时为“规模有效”与“技术有效”的十分理想且卓有成效的方法.1984年 R.D.Banker,A.Charnes和W.W.Cooper给出了一个被称为BCC的模型.1985年Charnes,Cooper和 B.Golany, L.Seiford, J.Stutz给出了另一个模型（称为CCGSS模型），这两个模型是用来研究生产部门的间的“技术有效”性的．

1986年Charnes，Cooper 和魏权龄为了进一步地估计“有效生产前沿面”，利用Charnes, Cooper和K.Kortanek于1962年首先提出的半无限规划理论，研究了具有无穷多个决策单元的情况，给出了一个新的数据包络模型——CCW模型．

1987年Charnes, Cooper，魏权龄和黄志民又得到了称为锥比率的数据包络模型——CCWH模型．这一模型可以用来处理具有过多的输入及输出的情况，而且锥的选取可以体现决策者的“偏好”．灵活的应用这一模型，可以将CCR模型中确定出的DEA有效决策单元进行分类或排队等等．这些模型以及新的模型正在被不断地进行完善和进一步发展．

上述的一些模型都可以看作是处理具有多个输入（输出越小越好）和多个输出（输入越大越好）的多目标决策问题的方法．可以证明，DEA有效性与相应的多目标规划问题的pareto有效解（或非支配解）是等价的．数据包络分析(即DEA)可以看作是一种统计分析的新方法．它是根据一组关于输入－输出的观察值来估计有效生产前沿面的．在经济学和计量经济学中，估计有效生产前沿面，通常使用统计回归以及其它的一些统计方法，这些方法估计出的生产函数并没有表现出实际的前沿面，得出得函数实际上是非有效的．因为这种估计是将有效决策单元与非有效决策单元混为一谈而得出来的．在有效性的评价方面，除了DEA方法以外，还有其它的一些方法，但是那些方法几乎仅限于单输出的情况．相比之下，DEA方法处理多输入，特别是多输出的问题的能力是具有绝对优势的．并且，DEA方法不仅可以用线性规划来判断决策单元对应的点是否位于有效生产前沿面上，同时又可获得许多有用的管理信息．因此，它比其它的一些方法（包括采用统计的方法）优越，用处也更广泛．

数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域．Charnes和Cooper等人的第一个应用DEA的十分成功的案例，是在评价为弱智儿童开设公立学校项目的同时，描绘出可以反映大规模社会实验结果的研究方法．在评估中，输出包括“自尊”等无形的指标；输入包括父母的照料和父母的文化程度等，无论哪种指标都无法与市场价格相比较，也难以轻易定出适当的权重（权系数），这也是DEA的优点之一．

2004年(二十六年之后): DEA已经形成了一个数学、经济学、管理科学交叉研究的新领域．

应用十分广泛，已有大量的DEA应用文章发表，内容设计各个领域。

二、DEA研究热点

在DEA领域，在以下几个方面做了一系列奠基性的工作：（ⅰ）完成大量应用的实例；

（ⅱ）DEA模型的扩充和完善 ．例如, DEA模型BCC，FG和ST；加法模型；Log－型的DEA模型；带偏好的锥比率的DEA模型；具有无穷多个DMU的半无限规划的DEA模型；随机DEA模型；逆DEA模型；等等.(ⅲ)DEA模型和方法的经济背景和管理背景研究；

(ⅳ)进行DEA模型的计算研究和DEA软件的研制；

（ⅴ）DEA所依据的数学理论研究，三、初识一个简单的DEA模型 1978年：对当第一个DEA模型CCR,认为是一种关于效率评价的新方法． 设有n个决策单元（j=1、2、…、n），每个决策单元有相同的m项投入（i=1、2、…、m）和相同的s项产出（r=1、2、…、s）。用xij表示第j单元的第i项投入量，用yrj表示第j单元的第r项产出量，其投入产出简略表示如下：

若用vi表示第i项投入的权值，用ur表示第r项产出的权值，则第j决策单元的投入产出比hj的表达式为

hjuyrr1msrj

vxi1iij通过适当选取权值v（i=1、2、…、m）和u（r=1、2、…、s），使对j=

1、ir2、…、n，有hj≤1。则对第j个决策单元的绩效评价可归结为如下分式规划

0问题：

maxhj0uyrr1msrj0

vxi1iij0suryrjr11,(j1,2，n),mvixiji1vi0(i1,2，m),ur0(r1,2，s)为将其转化为一个线性规划问题，（用1962年Charnes和Cooper对于分式规划的Charnes－Cooper变换（称为 C2－变换）:）令

1vxi1m,wivi,trur

iij0可将上述分式规划转化为

maxhj0tryrj0

(1)r1m(2)wixijtryrj0,(j1,2，n),r1i1m

2wixij01,(3)（PCR）i1wi0(i1,2，m),tr0(r1,2，s)(4)

DEA有效的定义:

弱DEA有效: 最优目标值(称为效率指数)h0= 1．

2000 0 0

DEA有效: 若（PCR）存在最优解ω,μ满足ω>0,μ>0，h0 = μy0 = 1．

22利用（PCR）来判别DMU的DEA有效性并不直接．考虑（PCR）的对偶规划问题。

若令式（2）的对偶变量为（－λ），式（3）的对偶变量为θ，则上问题的对偶问题为

min(5)njxijxij0,(i1,2，m),(6)j12（DCR）n

jyrj0yrj0(r1,2，s),(7)j1j0(j1,2，n)(8)对偶问题（5）－（8）的经济意义很明显：为了评价第j0决策单元的绩效，可用一组假想的组合决策单元与之比较。式（6）、（7）的左端分别是这个组合决策单元的投入与产出，因而模型的意义为，如果θ的最优值小于1，则表明可以找到这样一个假想的决策单元，它可以用比被评价单元更少的投入，获得不少于被评价单元的产出，从而表明被评价的决策单元为非DEA有效。显然，只有当θ＝1时，才能表明被评价单元DEA有效。

200DEA有效: 若（DCR）的任意最优解θ ,λj, j = 1,2,  , n, 都满足

1,0xjj1n0jx0,0yjj1n0jy0,22利用（DCR）判断DMU的DEA有效性时也不直接．对于DEA模型（DCR），Charnes和Cooper给出了具有非阿基米德无穷小量的DEA模型．

此后，人们又发现用“两步法”判断DMU的弱DEA有效性和DEA有效性（即源于Charnes等人的目标规划形式的“加法模型”． 同时,人们又研究了DEA模型的计算稳定性和灵敏度分析,等等.DEA软件研制.至此，DEA有效性的判别和计算已经完成．

目前，DEA被看成为一种技术，通过明确地考虑多种投入（即资源）的运用和多种产出（即服务）的产生，它能够用来比较提供相似服务的多个服务单位之间的效率。它避开了计算每项服务的标准成本，因为它可以把多种投入和多种产出转化为效率比率的分子和分母，而不需要转换成相同的货币单位。因此，用DEA衡量效率可以清晰地说明投入和产出的组合，从而，它比一套经营比率或利润指标更具有综合性并且更值得信赖。

DEA是一个线性规划模型，表示为产出对投入的比率。通过对一个特定单位的效率和一组提供相同服务的类似单位的绩效的比较，它试图使服务单位的效率最大化。在这个过程中，获得100%效率的一些单位被称为相对有效率单位，而另外的效率评分低于100%的单位本称为无效率单位。这样，企业管理者就能运用DEA来比较一组服务单位，识别相对无效率单位，衡量无效率的严重性，并通过对无效率和有效率单位的比较，发现降低无效率的方法。

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