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提炼关系 转化语言体会等价
---“方程的意义”课堂教学实录、反思与评析
深圳市南山实验学校南头部 高雅
一节课的教学，问题在精不在多！两到三个覆盖全局、直指本质、涵盖重、难点的大问题，不仅能帮助学生搭建自学脚手架，同时也能促使学生在40分钟的时间内充分解放自己的头脑，独立思考；充分解放自己的双手，主动操作；充分解放自己的嘴巴，勇于表述；充分解放自己的眼睛，乐于观察。
——黄爱华
课前思考 1．研读文本： “含有未知数的等式叫方程。”这是教材中给出的关于方程的定义。能根据这个定义顺利地辨认方程的样子就是认识方程了吗？能流利地说出“含有未知数的等式叫方程”这个定义就是理解方程思想了吗？用这个定义来判断，类似x=1，x-x=0等这样既含有未知数又用等号连接的式子到底是不是方程呢？带着这些疑惑我们从本质上来解读一下方程：
“含有未知数的等式”描述的是方程的外部特征，并不是本质特征。
方程的本质特征是等量关系，它由已知数和未知数共同组成，表达的相等关系是现象、事件中最主要的数量关系。
方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。
方程思想的核心在于建模、化归----让学生接触现实的问题，学习建模，学习把日常生活中的自然语言等价地转化为数学语言，得到方程，进而解决有关问题。
方程----用等号将相互等价的两件事情联立，等号的左右两边等价；等号左右两边的两件事情在数学上是等价的----数学建模的本质表现之一。
2．抓核心词：
方程是一个建模的过程，怎样帮学生建立好这个数学模型，让学生能透过现象，深刻理解方程的本质含义呢？我们抓住三个关键词：
1.等式
等式是一个数学概念。在以天平图创设的现实情境中，利用鲜明的直观形象写出表示相等的式子，帮助学生理解等式的意思。
2.等号 算术中的等号主要表明运算的具体实施过程，即经由具体运算依次得出的结果，在代数中，等号的主要意义是表示“等量关系”。
3.等价
等价是代数中的核心观念。
3．提大问题：
如何激发学生积极主动参与数学学习的过程，体现学生的主体地位，让学生真正成为学习的主人？我们尝试让学生依据自己的经验提出研究的具体问题。在学生提出问题的基础上，教师和学生一起对问题进行梳理，并把梳理的问题当作教学的主线。主要包括：
（1）什么是方程？
（2）为什么要学习方程？
（3）方程就是等式吗？
方 程----含有未知数的等式
（1）什么是方程？ 不
等 式（2）有什么用？ 40（3）就是等式吗？ „„
等 式
20+30=50 3+5=8 „„
方 程
4x=200 3x=300×2 y+5=10 30+x=80 2x=100 „„
4．板书设计：
课堂回放
镜头一：建立关系，提出问题 师：知道我们今天学什么吗？
生：方程！（板书课题：方程）
师：作为一个学习者，你想弄明白关于方程的哪些问题？
生1：方程是什么？
生2：怎样解方程？ 生3：方程有什么用？
生4：方程与方程式赛车有关系吗？
生5：方程跟我们学过的哪些知识有联系？
……
师：这些问题都代表大家对方程的思考，我们一起来梳理一下，把重点要解决的问题写一写。
师生共同梳理板书本节课需要解决的大问题：
①方程是什么？
②有什么用？
③方程就是等式吗？
师：带着这些问题开始我们今天的研究和学习。
策略分析：
师生之间的对话建立起教师与学生，学生与新知识之间的关系；教师“以问导问”引导学生提出问题，调控并将学生的雏形问题引向本课的教学目标上,生成出本节课需要解决的“大问题”写在黑板上，问题即是本节课的教学目标。
镜头二：尝试探究，展示分享
1.回顾“比轻重”，感受平衡与相等。
师：首先我要请大家穿越时光隧道，回到一年级。请看，这是一年级数学课本里的两幅图，能看懂吗？看懂什么了？
生：4只虾的质量等于一只蟹的质量。
师：是吗？凭什么说是等于呢？
生：因为天平保持平衡。
师：哦，天平保持平衡，我们就知道左边4只虾的质量（伸出左手）等于右边一只蟹的质量（伸出右手）。你们能用这样的手势表示天平的意思吗？
师生共同用手势和语言一起表达天平的左右两边的平衡关系。
策略分析： 引导学生用双手表示天平的平衡，肢体参与的活动，对建立模型，建立等价的关系是非常有意义的。
2．交流分享，初步感悟方程。
在图中加入数据，如下图：
师：现在你还能看懂吗？
生：能！
师：把你看懂的意思用你喜欢的方式写下来。如果你愿意，你还可以到黑板上来写一写。
师：真厉害！3个同学的表达都各不相同，你看懂了吗？你觉得他们写的都对吗？ 生1：我觉得第三种不对，别人会看不清楚，要交待一下x表示什么。
生2：x就表示一只虾的质量，4x就表示4只虾的质量。
策略分析：
“你看懂了吗？”这个问题让学生将自己原有的探究结果与展示的探究结果进行对照，提醒学生关注学生，关注别人的思维过程，而学生与学生之间的对话又恰恰对展示结果进行了合理和必要的解释，帮助学生澄清了思维。
师：现在清楚了吗？站在你的角度比较一下这三种表达方式，你比较喜欢哪一种呢？为什么？跟你旁边的同学说一说。
生1：我最喜欢第三种，因为最科学、最简洁有力。虽然第二种也比较简洁，但我感觉第三种更有方程的感觉。
生2：第1种和第3种我都喜欢，因为第三种跟我们以前学的知识用字母表示数有联系，看起来很简洁，一下子就能把所有的意思表达出来，就是3只鸡的质量等于两只鸡的质量。第一种用文字说明了什么等于什么，也很好。
生3：我比较喜欢第三种，因为第一种那么多文字我感觉更像语文课，数学课应该用数学的语言来表达。
策略分析：
学生以学习主体的身份，充分表达自己的见解，他们的表达也带领全班同学逐渐深入地理解知识，在喜欢与不喜欢的对比中，方程的特点和方程的简洁性呼之欲出。
师：喜欢第三种的人举手！这么喜欢它，那还不赶紧写在你原来表达方式的旁边。老师也把它写到黑板的上面来。怎么样？写起来是不是很方便简洁？
师：老师悄悄的告诉你们，你们最喜欢的这种简洁方便的式子，就是我们今天要学的方程哦。
师：喜欢方程吗？（喜欢！）有什么好处？（简洁、方便）学懂了吗？（懂了，有点懂了……）现在假如隔壁班还没有学方程，他们班有个学生走进来了，你要告诉他什么是方程？你会怎么讲？和你同桌一起准备准备。
生1：方程是用字母代替未知数，方程代表相等的关系。比如天平左边等于右边。
生2：我补充，我觉得是含有未知数的等式叫方程。
生3：我来举个例子说，比如：天平左边4只虾，我们就写成4x，天平右边是200，我们就写成200，天平平衡，我们就用等号连接，4x=200就是方程了。
生4：我觉得方程有点像搭桥，只有在两边质量相等的情况下，中间的桥才能平，汽车才能过去。师：对，方程就是把左右两边相等的两件事情搭座桥，用等号连起来。
教师板书：含有未知数的等式
师：方程是什么，这个问题我们解决了吗？（在问题后面打上√）
策略分析：
认识方程从用手势表示天平的平衡手始，再用喜欢的方式记录天平平衡，然后比较不同的记录方式，再谈自己喜欢的记录方式，最后书写方程。在这个过程中，孩子们经历了独立思考、比较优化的过程，而这个经历都是在“什么是方程”的大问题的导向下一路走过来的。经历了这个过程后，再驻足回品：“如果有一个小朋友没有学方程，你准备怎样告诉他什么是方程呢？”让学生对学习过程和学习内容进行归纳梳理，形成整体印象，而学生有准备的表达对整个教学起到画龙点睛、提炼升华、延伸拓展的作用。
3.读写方程，对比认识方程。
师：我们一起来读读这两个方程，要读出刚才你们说的平衡相等的感觉哦，谁来试试？
学生带着手势读方程。
教师依次出示以下四幅图，学生先在练习本上看图写出方程，然后齐声读出方程。
生1：老师，20+30=50根本就不是方程。
师：同意吗？为什么？
生1：因为它没有未知数。
师：可它平衡呀！
生1：它虽然平衡，但没有未知数，就像1+1=2那样。
师：哦，它只是我们学过的普通的等式。像这样的等式你还能举几个例子吗？
生：2+3=5,100+100=200……
师：那为了区别，请一个同学把黑板上所有的方程用个大圈圈起来，谁来圈？
师：再请一个同学用个大圈把所有的等式圈起来。你们猜，他会圈哪些？对吗？ 师：看看这两个大圈，你觉得方程和等式有什么联系呢？
生1：方程也是等式。是含有未知数的等式。
生2：方程是等式的一种。
生3：方程是等式的一部分。
生4：所有的方程都是等式，但不是所有的等式都是方程。
教师拿出写有“方程”和“等式”的卡片
师：那这两张卡片贴在圈圈的哪个位置比较合适呢？
学生将“方程”贴在方程圈内，将“等式”贴在方程和等式交叉的位置。
师：出示不平横的天平：
这样的天平用式子怎么表示呢？
生：40
师：这是方程吗？为什么？
学生辩论：
生1：我说不太清楚，但我感觉它是方程。
生2：我觉得是方程，因为它含有未知数。
生3：方程不仅要含有未知数，而且还要表示平衡。这个式子根本就不平衡，所以不是方程。
生4：如果方程只是用在等式上，那范围太小了，研究它干什么？
生5：我们前面提到了，没有未知数，只有等式的，可以说是二缺一不是方程，我们现在遇到有未知数但没有等式的，也是二缺一，所以不是方程。
策略分析：
让学生带着手势读方程，体验两边质量一样重，会读了，也就会写了。进而引导学生对等式、方程、不等式进行对照、比较、辨析，不仅三者之间的关系得以明确，而且方程的概念得到进一步强化。
4.生活拓展，深刻领悟方程。师：刚才我们通过天平认识了方程，那离开天平，是不是方程就不存在了呢？其实生活中也存在这样的相等关系，不过生活中的等量关系不像天平这么直观，一眼就能看出来，他需要你有慧眼去仔细的分析和辨认，有没有兴趣挑战一下？我给你提供2个研究素材，你和同桌一起商量商量。看看这些生活中的事情怎么用方程表示？
交流分享生活事件中隐藏的等量关系，解释方程的意义。（略）
策略分析：
引导学生结合生活事件在头脑中建立天平，就是帮助学生建模、化归。
镜头三：共同概括，问题延伸
师：课前提出这些问题我们都解决了吗？ 生：“方程有什么用”还没解决？
师：你感觉方程有什么用？
生：表达起来很方便、很简洁。
师：方程的作用可大了，很多用算术方法解起来很难的问题，用方程解起来就轻而易举。方程究竟如何帮助我们解决问题呢？以后我们来慢慢体会。
策略分析：
师生围绕本节课的“大问题”，通过写生活中的等价关系、用式子表示不平衡的天平、在黑板上圈出方程、等式等教学活动，共同参与梳理提炼出方程及其概念，并对知识进行巩固、深化和延伸，最后提出了“方程究竟如何帮助我们解决问题呢？”的后续研究问题。
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