二次函数最值问题参考答案_二次函数最值答案

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精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.二次函数最值问题

二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1.轴定区间定

例1.函数yx4x2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函数yx4x2(x2)2函数的最大值为f(2)2，最小值f(0)2。练习.已知2x23x，求函数f(x)xx1的最值。

解：由已知2x3x，可得0x222223，函数f(x)的最小值为f(0)1，最大值为2319。f2

42、轴定区间变

2例2.如果函数f(x)(x1)1定义在区间t，t1上，求f(x)的最小值。

解：函数f(x)(x1)1 21t，当xt时，函数取得最小值f(x)minf(t)(t1)21。

t1t1，即0t1。当x1时，函数取得最小值f(x)minf(1)1。t11，即t0。当xt1时，函数取得最小值f(x)minf(t1)t21

综上讨论，f(x)min(t1)21,t1 1,0t12t1t02f(x)x2x3，当x[t，t1](tR)时，求f(x)的最大值． 例3.已知解：由已知可求对称轴为x1．

f(x)minf(t)tt21t3，f(x)maxf(t1)t22（1）当时，．（2）当t≤1≤t1，即0≤t≤1时，．

tt11即22tt111t≤12f(x)f(t1)t2max22即2若时，． 根据对称性，若

0≤t≤122时，f(x)maxf(t)t2t3．

f(x)maxf(t)t22t3t11t0（3）当即时，．

第1页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.综上，f(x)max12t2,t2 t22t3,t12

23、轴变区间定

例4.已知x21，且a20，求函数f(x)xax3的最值。

解：由已知有1x1，a2，于是函数f(x)是定义在区间1，1上的二次函数，将

aa f(x)配方得：f(x)x32422aa2a二次函数f(x)的对称轴方程是x顶点坐标为，3，图象开口向上

422a1，显然其顶点横坐标在区间1，1的左侧或左端点上。2函数的最小值是f(1)4a，最大值是f(1)4a。由a2可得x

图3 例.(1)求f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。

(2)求函数yx(xa)在x[1,1]上的最大值。解：(1)二次函数的对称轴方程为xa，211即a时，f(x)maxf(2)4a5； 2211 当a即a时，f(x)maxf(1)2a2。

22当a综上所述：f(x)max12a2,a2。4a5,a12a2a2aaaa(2)函数y(x)图象的对称轴方程为x，应分11，1，1即242222第2页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.2a2，a2和a2这三种情形讨论，下列三图分别为

（1）a2；由图可知f(x)maxf(1)（2）2a2；由图可知f(x)maxf()（3）a2时；由图可知f(x)maxf(1)

a2

y最大(a1),a2f(1),a22aaf(),2a2；即y最大,2a2 24f(1),a2a1,a

2（二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例5.已知函数f(x)ax2ax1在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。

解：f(x)a(x1)1a,x[3,2]（1）若a0,f(x)1,，不符合题意。（2）若a0,则f(x)maxf(2)8a1 22由8a14，得a3 8（3）若a0时，则f(x)maxf(1)1a 由1a4，得a3

第3页（共4页）精英辅导学校 贾天宇 2013.7.17.综上知a3或a3 8x2例6.已知函数f(x)x在区间[m,n]上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。

2解法1：讨论对称轴中1与m,mn,n的位置关系。2①若，则f(x)maxf(n)3n

f(x)minf(m)3m 解得②若f(x)maxf(1)3nmn，无解 1n，则2f(x)minf(m)3mf(x)maxf(1)3nmn③若m1，则，无解

f(x)f(n)3m2min④若，则f(x)maxf(m)3n，无解

f(x)minf(n)3m综上，m4,n0 解析2：由f(x)1111(x1)2，知3n,n,，则[m,n](,1]，2226f(x)maxf(n)3n

f(x)f(m)3mmin又∵在[m,n]上当x增大时f(x)也增大所以解得m4,n0

评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。

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