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你一定能够学好高等数学(上篇）
——和大一新生谈学好高等数学
（二）文/龚成通 http://blog.sina.com.cn/slsq
前言：数学是大学学习生涯中要过好的第一道坎。
学好高等数学，究竟有没有什么诀窍，或者说特殊的方法？以我之见说“有”也对，就是勤学苦练多做题；说“没有”也对，想走不花力气的捷径是不可能的。
不要相信天花乱坠的所谓数学学习方法或高分秘诀。
讲者滔滔不绝，头头是道，其实都是夸夸奇谈。听了好象很有启发，其实一点都没有好处。
所谓的技巧，也都不过是一些雕虫小技而已。
以我之见，与其花时间去研究10种不同的高数学习方法，还不是花时间去熟悉10种不同的数学题型,“不熟焉能生巧”。
认真学过高等数学的学生（参加过数学考研的学生）都知道，一元微分学最难，一元积分学其次。高等数学的上册学好了，下册多元函数应该不成问题了。
可是现在大家的感觉恰恰是相反，可以说，这完全与教学内容无关。
刚进入大学校门，大家都有几分热情，花在学习上的时间也比较多，一点小聪明还在，最难的一元微分学虽然学得很累，期中考试也都通过了。
可是到了下半个学期，及至下半年，不少人热情不再，一点小聪明资本也基本用完了，时间也都不知道花在了什么地方了。
这样的状态下，还能学得好，就是件怪事。
总之，我认为学好高等数学，不在于你的天资（潜力），而在于你的勤奋（努力）。
在今天开学第一天，我想对愿意努力的同学说：如果你自始至终能够切切实实按我对你的如下要求去行动。我就不相信一年后还不会有“我努力了，但是我还是没有学好”的哀叹。否则，你把预习笔记和课堂笔记拿给我看。
一．听课，要注于专心
认真听课，这是个不言而喻的道理。所以就不多谈了，这里只谈谈记笔记的事。要学好高等数学，一定要学会记笔记。
记笔记会使听课更专注，也能帮你有效地进行课外的复习巩固。
有些同学不会记笔记，只要是老师所讲，言无轻重、话无巨细，统统照记不误，耳、眼、手忙得不亦乐乎，累得还哪里顾得上同步思考，如果是这个样子，倒还不如不记。
课堂笔记没必要追求齐全、讲究系统。只要有选择、有重点地记就可以了。但是课后复习时，一定要对笔记进行适当的整理补充，这就是一本好笔记。如果能再加上自己的心得体会与点评，那就是笔记的极品了。
如果预习得好，那么对哪些该记、哪些可不记，也会更有的放矢。
现在多数老师上课都用上了多媒体课件，但谁也不会是照屏宣科，精彩之处常在屏外的补充与发挥之中。这些补充与发挥之处尤其要详细地记。
二．复习，要做到精心
在整个学习的过程中，复习是最重要的环节，有专家研究过所谓的“知识遗忘规律”有近快远慢的现象。学得越快越多，忘得也越快越多。
所以刚学的东西，一下课就要及时复习，这叫“巩固记忆” ；期中考试再复习，这叫“加深记忆” ；期末考试系统地总复习，这叫“强化记忆”。
对于搞数学教学的我，想把“知识遗忘规律”总结为“知识记忆的指数衰减律”。于是得到下面两个公式，第一个公式是
y＝A exp(－kt)，我想把它称为“龚氏第一公式”，具体地说就是“复习记忆公式”，其中A为初始学习量，t为时间，正数k就是复习记忆系数，y为时刻t的即时记忆量．
那么我们的复习就是在做系数k的修正工作，反复的复习可以把系数k改变成为一个很小的正数，从而达到最好的记忆效果。在k=0的极端情况下，记忆就会被“锁住”而成为所谓的“永久记忆”。
由于我们在复习的同时，或在复习的基础上，还在不间断地学习着新的知识，所以反复的滚动复习所起的效果就是知识的积累。我们可以把这个意思写成第二个公式
Y＝y1＋y2＋y3＋．．．＋yn
＝A1 exp(－k1 t)＋A2 exp(－k2 t)＋A3 exp(－k3 t)＋．．．＋An exp(－kn t)
这个公式可以称为“龚氏第二公式”，也称为“温故知新公式”或“知识积累公式”。
如果你在任何时刻的复习都能够做得如此的精心，那么两年以后的考研复习时，就只要在你的“记忆库”中进行轻松的搜索、回顾就可以了。
古代孔圣人曰“学而时习之，不亦说乎！”
现代世俗人谓“曲不离口，越唱越灵；拳不离手，越打越精”。
三．作业，要肯下苦心
作业是复习的一个组成部分，不做作业的复习是虚空复习，不复习而做的作业是低效作业。看书、看笔记、做作业，当然需要有先、后的次序，但是适当地交替进行会更有实效。
如果说做好预习是提高课堂听课效率的充分条件，那么及时完成好作业就是读好高等数学的必要条件。
老师所布置的作业是最低量作业要求，如果完成这些作业后还找不到明显的感觉，就应该适当地加大自己的作业量。
作业是为自己作的，抄作业实际上被欺骗的是自己。
老师批过的作业一定要认真仔细地看，这不仅是对老师辛勤劳动的尊重，更是纠正自己的错误，以免重犯的绝好方法。
由于多数作业本是由助教批阅的，或许有批错的地方，另外还可能有对老师在作业本上的批语没全搞明白的地方，必须及时问老师。
致07大一新生系列之七
你一定能够学好高等数学(下篇）
——和大一新生谈学好高等数学
（三）文/龚成通 http://blog.sina.com.cn/slsq
四.答疑，解决问题不过夜
学习高等数学过程中，必然会有各种疑问。思考越深，疑问越多。有疑问是好事，攻克的问题无论大小，积累起来就是“学问”。不思无问，就是瞎混混。到头来，且不说一事无成，就是想涉险过关，也许没那么侥幸。
学习要有愤悱意识，不愤不启、不悱不发，自己发问、自己回答。“冥思苦想”之下的“豁然开朗”，那才真叫是“其乐无穷”。当然这是理想境界，可遇也可求，但是不强求。
我们的功课门数很多，而精力很有限，不能全都化在高等数学一门功课上。
“冥思苦想”也不能死耗时间，自己想不明白，再问同窗学友。互相切磋，集思广益。每个人有不同的亮点，一旦互相发生碰撞，兴许就会产生绚丽的火花，三个“臭皮匠”赛过一个诸葛亮嘛！
为学生释疑解难是老师的天职，我们学校里每天都安排老师值班答疑（固定时间，固定地点），这是你应该充分利用的宝贵资源。只要是教高数的，随便遇到那个老师都可以问，答疑时，不要总希望老师把问题的解答向你和盘托出。而那些只给你以适当提示和启发，让你自己继续思考的老师绝对是个好老师。如果你认为这样的老师不够热心，那你就错了。
这时候，反倒需要你要有足够的耐心，认真地按照老师指点，去动手演算一下。如果在经过老师点拨后，你真的懂了，那当然是最好。否则，就要穷追猛打，彻底弄懂。没有搞懂就是没有搞懂，不要不好意思多问，不要担心老师会不耐烦。老师一定会给你第二步引导，第三次启发。直到完全弄懂为止。
如果你来我这里答疑，我常常会对“表示已经搞懂的”学生提出这样的要求“你真懂了吗？你来给我讲一遍”。
五.课外阅读，看书有选择
工科学生对高等数学的学习要求还是很基本的，考试也不会偏、难、怪。个人认为：如果你没有特殊要求，就没必要去博览群书、广采泛撷。认真研读两本三本高数的教学辅导书就非常足够了。（1）教材类的书，没有必要多研究。
国内各校教材，虽然各有特色，但都是依据统一的教学大纲编写，围绕的重点也完全相同。
有些名牌大学教改步子特别大，压缩了大纲内的很多基本东西，编入了许多大纲外的东西，例如微分几何的内容、运筹学的原理、还有数值计算的方法。本人认为根本没有必要读这些书。除了你所在学校的指定教材外，别的教材都不要去分析比较了；（2）教学辅导书要有选择地读，有指导地读。
不少高数学习指导书，用了大量的篇幅去讲解所谓的重点、难点，在我看来只是教材简单的重复、罗列；
还有一些学习指导书，做了很多所谓知识的图表化、网络化、程序化。在有些作者看来，编得太简单似乎体现不出他的新意；而在我看来，去看编得那么复杂的书，真让人好像感到进入了一个高等数学的迷宫一样。
靠它，我们怎么能学得好高等数学。而当你学好了本课程后，可以发现这些“知识图表化、网络化、程序化”是极为简单，应该完全可以由学生自己动手来编写。
还有不少辅导书很讲究解题技巧，但很少讲技巧的来龙去脉。看这种书就好象看魔术，除了让你感叹、惊奇之外，对初学者帮助也不大。
各种五花八门的高等数学复习资料与习题集目前是最受欢迎的。但是当大家拿到这一种书时，要请注意若缺少对典型例题的深入剖析，没有足够数量的例题供揣摩，对学生也无多大益处。（３）少而精，学到手。
有人刚开学，买书很积极，一大摞一大摞的买。当然其中有些人基础可能特别好，精力可能特别充沛，一本接着一本地读。咱们基础一般或较差的，不要去和他们攀比，也跟着去买很多书。
读数学书是得边看边仔细思考的，怎能像看小说那样一页一页地快速翻、一本一本地连着读。
有需要才去买，买了就认真看，不要把它作为收藏品。用不着包什么花花绿绿的封皮。把涂塑的封面都翻烂了，才算是真有本事。对于“工科学生学高等数学”来说，我看只要能“读破两本书”，基本上也就能“知识满肚皮”了。
这里我对别人编写的高等数学教学参考书不作什么具体的评价，因为本人写有多本有关的高等数学教学参考书。对于自己的书，不是“老龚卖瓜，自卖自夸”，确实觉得还是可以的。在这里略做介绍：
1．《高等数学起跑第一步》
适合中学里没有学过“有理函数分解、极坐标、复数的欧拉公式、．．．”等内容的学生，大学数学老师讲课时，都不会再讲这些属于《中学数学》的教学内容。
２．《高等数学例题与习题》
本书对大量典型例题进行深入剖析，着重点不在解题方法的技巧上，而是着重于（１）教会你“怎么样去找到”一个比较好的方法；（２）做完习题后有应该怎么样去进行归纳小结。
３．《大学数学应用题精讲》
属于提高性质。现在希望考满分，将来希望考研究生的同学值得一读（向一年级新生做特别说明：本书不是根据教学大纲编写，而是根据考研大纲编写。根据考研试题特点，本书在内容及方法上具有前后交叉渗透特点）。
六．预习，能充分提高听课效率
做好预习是学好高等数学课程的一个重要环节。预习能充分提高课堂听课效率、良好的预习习惯能够为提高将来的自学能力打下扎实的基础。
学生对学习高等数学的感受是：“上课听得懂，作业做不来”。说到底，还是上课没真懂，而其因素之一可能是没有认真预习。
对于预习，大家都觉得特别累，既费时间，又达不到很好的效果（也就是所谓的“事倍功半”）。这是因为大家对预习的“要求”没掌握好，把预习当作了自学。实际上预习与自学是两个不同概念。
下面就具体谈谈高等数学课程的预习要求。
首先预习内容不要太多，根据老师的教学进度表，只要把下一次的教学内容预习一下就行了。太多了理解不了，也难于消化。
其次掌握好精略得当。
对于较浅显的内容，预习时可以看得细一点，思考得深一点。
通过预习能看懂或基本理解当然是最好，但是一般说来老师的理解会比你更深刻、更全面。你再在课堂里仔细听听老师的分析、老师的理解，他能帮你产生认识上的一个“叠加”或“倍增”甚至是“飞跃”。
高等数学的不少内容是比较艰深的，对于这些内容你可以看得略微粗一点，思考得浅一点。即便如此，恐怕也要硬着头皮把一个完整的内容看完。
最后告诉你预习的与听课效率的关系。
预习的要求，本来就没有要求你能全部都能搞懂，“模模糊糊、似懂非懂”应该是属于很正常的现象。
对于“似懂”之处，课堂上老师会帮你把模糊的影子变成清晰的形象，会使你的认识得到“纠正”、“补充”，变“似懂”为“真懂”；
而对于“非懂”之处，在课堂上你一定会听得更认真、更仔细。
有些同学觉得高等数学课堂上记笔记抓不住要点。那么请你试试看，加强预习以后，这个感觉会不会得到改善。
预习与听课效率之间的关系是不容置疑的，预习后的听课收获与感悟和未经预习的情况不可同日而语。
高等数学的教学进度是非常快的，每节课上要学的内容多非常多。如果没有经过预习，要想跟上进度确实不是很容易的。
不可否认，也有不少同学觉得不经过预习，高等数学也能学得蛮好。但是，我想反问一个问题“如果你预习工作做好了，是不是有可能把高等数学这门课程学得更好呢？”
其实，从近期看，预习可以提高听课效率。从远期看，养成良好的预习习惯，可以为将来自我获取新知识（自学）能力打下良好的基础。
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