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初中数学课堂教学探究性学习案例简析
周微微张维忠
研究性学习是近年来兴起的一种全新的教学方式，它主要着力于学生的学，鼓励学生以类似科学研究的模式，进行主动探索．它把目标指向学生的创新能力、问题意识，以及关注现实、关注人类发展的意识和责任感的培养，而不仅仅是知识的传播和掌握．探究性则是研究性学习的主要特征之一，其有利于改变学生学习数学的方式，它强调“做中学”，力图通过学生“做”的主动探究过程来培养他们的创新精神、动手能力和解决问题的能力．而立足于课堂，深入钻研教材，是数学课堂教学中实施探究性学习的基础．我们结合承担的浙江省温州市教育科学规划课题的研究就初中平面几何教材（浙江教育出版社，1997年版）相交弦定理与切割线定理的教学谈谈我们的一些做法和简要的分析．教材中将“相交弦定理”、“切割线定理”分割为两节课，我们认为这两项内容合为一节课，更有利于数学课堂教学中实施探究性学习．
1.问题是思维的起点，是学生主动探究的动力，本教学案例始于如下研究性问题，同时通过动态地展示图形变化，让学生观察、探究。
（1）已知：弦ＡＢ和ＣＤ相交于⊙Ｏ内一点Ｐ（图1），则ＰＡ·ＰＢ与ＰＣ·ＰＤ有何关系?为什么? CAPODB(1)
学生：连结ＡＣ、ＤＢ，由△ＡＰＣ∽△ＤＰＢ可得ＰＡ·ＰＢ=ＰＣ·ＰＤ． 教师：板书“相交弦定理”．
（2）若ＡＢ、ＣＤ的交点Ｐ在⊙Ｏ外（图2-1），上述结论成立吗? AAOC(2-1)DBPOC(2-2)DBP
学生甲：成立．连结ＡＣ、ＢＤ，由△ＰＡＣ∽△ＰＤＢ可得ＰＡ·ＰＢ=ＰＣ·ＰＤ． 学生乙：成立．连结ＡＤ、ＢＣ（图2-2），由△ＰＡＤ∽△ＰＣＢ可得ＰＡ·ＰＢ=ＰＣ·ＰＤ．
（3）对图2，令ＰＡ绕Ｐ点旋转，使它和圆相切（图3）．上述结论有何变化? 学生：此时Ａ点与Ｂ点重合，即ＰＢ=ＰＡ，可猜想上述结论变为：ＰＡ２=ＰＣ·ＰＤ． 证明：（略）
教师：板书“切割线定理”．
A(B)OC(3)DP(4)OA(B)PC(D)
（4）对图3，再令割线ＰＣ绕Ｐ点旋转，直到和圆相切，此时结论又如何呢?（图4）学生：此时Ｃ点与Ｄ重合，即ＰＣ=ＰＤ．
∴上述结论将变为ＰＡ２=ＰＣ２，即ＰＡ=ＰＣ（负值舍去）．
其实，这就是前面已学过的切线长定理．可见，切线长定理是切割线定理的特殊情况，它们是相互联系的．
ACOFDPBABOCEF(5)DPE
简析：随着《几何画板》的动态演示，充分展示了数学的美妙．探索结论的欲望悄然注入学生的心田，激起了学生探索的好奇、好胜心理，为教师设计探究性学习带来了契机．此时，教师不要急于归纳总结或巩固练习，而应引导学生继续探究隐含于其中的数学问题的本质特征．
2.深入探究，揭示和提炼规律
教师：如图5，由上述结论可得ＰＡ·ＰＢ=ＰＣ·ＰＤ=ＰＥ·ＰＦ． 这又反映了怎么样的规律呢? 简析：这是教学难点，教师打开《几何画板》演示：ＡＢ绕Ｐ点任意旋转，且分别在ＣＤ处、ＥＦ处停留一会儿，让学生慢慢地领悟到ＡＢ转到ＣＤ或ＥＦ或„„时，ＰＡ·ＰＢ或ＰＣ·ＰＤ或ＰＥ·ＰＦ„„的值不变．这说明了什么呢?学生思考、探索„„
学生：割线ＡＢ的位置变化，但ＰＡ·ＰＢ的值不变．
教师：即ＰＡ·ＰＢ为定值．若⊙Ｏ的半径为Ｒ，ＰＯ=ｄ，能用ｄ、Ｒ表示这个定值吗?由此你发现了什么结论?请你把这一结论用文字叙述出来． 简析：此时学生充分地联想：如何将ＰＡ·ＰＢ转化为Ｒ与ｄ的关系式?由ＡＢ的位置变化而ＰＡ·ＰＢ的值不变这一特征联想到：将ＡＢ旋转到过圆心Ｏ，就可得到Ｒ与ｄ的关系．
学生：将ＡＢ旋转到特殊位置上：经过圆心Ｏ．
（1）如图6，当Ｐ点在⊙Ｏ内时，ＰＡ·ＰＢ=ＰＣ·ＰＤ=（Ｒ-ｄ）（Ｒ＋ｄ）=Ｒ２-ｄ２．
CBAOABCODP(6)D(7)
（2）如图7，当Ｐ点在⊙Ｏ外时，ＰＡ·ＰＢ=ＰＣ·ＰＤ=（ｄ＋Ｒ）（ｄ-Ｒ）=ｄ2-Ｒ２．
（3）如图8，当ＰＡ为切线时，ＰＡ２=ｄ２-Ｒ２．
由此可知：无论点Ｐ在⊙Ｏ内（或外），ＰＡ是割线（或切线），均有ＰＡ·ＰＢ=|ｄ２-Ｒ２|，因而有结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段长的积为定值．
A(B)CODPOBCAP(8)(9)
简析：这一深入探究，学生学会了将一般情形转化为特殊问题、化动为静的思想方法，用运动的观点去探索图形变化过程中所存在的结论．
3.巩固练习
（1）如图9，ＰＢ是⊙Ｏ的割线，交⊙Ｏ于Ａ、Ｂ，ＰＯ交⊙Ｏ于Ｃ，ＰＣ=ＣＯ，ＰＡ=４，ＡＢ=５，求⊙Ｏ的半径．
（2）如图10，ＡＢ是过点Ｐ的一条弦，ＡＢ=１０，ＰＡ=８，ＰＯ=３，求⊙Ｏ的半径．
AOPA(10)BPBDO(11)C
（3）如图11，Ａ是⊙Ｏ上一点，过点Ａ的切线交ＣＢ的延长线于点Ｐ，且ＡＤ⊥ＢＣ，PBPOPDPC． 垂足为Ｄ．求证：简析：这一探究性学习的教学案例虽不是十分典型，但还是有许多地方值得肯定．它既是对教师的教学观念和教学能力的挑战，也是培养学生创新精神和实践能力的重要途径．本教学案例的设计实现了以下三方面的转变：（1）教的转变．教师的角色从知识的讲授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者．本教学案例没有像教材那样给出一个定理，一步一步地练习，一点一点地落实，而是利用《几何画板》直观地、动态地展示图形变化，突出观察点．如：交点Ｐ在圆内延伸到圆外；直线与圆相交，旋转到相切；激发学生自觉地去探究数学问题现象背后的本质（ＰＡ·ＰＢ的值不变），体验发现的乐趣．（2）学的转变．学生的角色从学会转变为会学，对相交弦定理、切割线定理及其推论，并不是孤立地去记一个又一个定理，而是观察它们的联系，探究本质特征（割线ＰＡ的位置改变，而实质不变）发现隐含于其中的一般规律（ＰＡ·ＰＢ=|ｄ２-Ｒ+|），从而培养学生运动、变化、发展的辩证唯物主义观点．（3）教学目标的转变、教学目标从落实双基、培养思维能力提升为情感、意志、能力、知识等全方位的培养，达到如下几个目标：知识目标，随着对图形的演化的研究，学生对圆幂定理的理解层层推进，螺旋上升，整体掌握，从而能灵活应用；能力目标，学生学会了联想、类比、化归等数学思想方法，培养了探索和发现的能力；学法目标，不是停留在学会课本知识的层面上，而是站在研究者的角度深入其境、由表及里，将课本知识拓广深化、再创造，体验研究的氛围和真谛；德育目标，学生的主体意识被唤醒，获得积极的情感体验．如：探究的好奇、好胜心理倾向；认真探究，克服困难的心理素质等，培养了学生的科学态度和科学精神．
参考文献
1霍益萍．研究性学习：实验与探索．南宁：广西教育出版社，2001 2周微微．初中数学研究性学习的设计与实施．中学教研（数学），2001，5 摘自《中学数学教学参考》
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