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浙江工业大学第十四届大学生数学建模竞赛
所选赛题： þA
□B □C 我们承诺：
Ø我们仔细阅读了浙江工业大学数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛
开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的 任何人研究、讨论与赛题有关的问题。
如果引用别人的成果或其他公开 Ø我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用 处和参考文献中明确列出。
Ø我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛
规则的行为，我们将受到严肃处理。
参赛队员（签名）： 参赛队员（签名）： 参赛队员（签名）：
学院年级： 学院年级： 学院年级：
联系方式： 联系方式： 联系方式：
þ我们队伍愿意参加暑期数学建模培训，参加全国大学生数学建模竞赛
题目：雾霾相关问题探究
摘 要
雾霾天气会造成能见度降低，空气湿度较大，气溶胶污染等环境灾害问题。鉴于雾 霾天气已成为一种新的气象及环境灾害性现象，本文将对雾霾引发的一些问题进行探 讨，主要包括两个方面，一是建立数学模型描述雾霾通过对植物的直接影响而对生物链 造成的危害；二是建立一种算法来处理雾霾天气下摄取的模糊图片。
基于三种群 Volterra模型，我们通过引入雾霾影响系数，定义了雾霾影响力值，建 立了能描述在雾霾环境下，由植物、哺乳动物和爬行动物组成的生物链的常微分方程组。我们主要通过分析常微分方程组的稳定点，以一个在没有雾霾的影响下，三个种群都没 有灭绝的情形的数值例子作为研究的参照点，通过增加此情形下的雾霾影响力值，来分 析在不同雾霾影响力下生物链的变化。最终，我们能通过数据模拟的方法，得到雾霾影 响力值在范围 0至 1之间变化时，种群数量的具体变化情况。此外，我们根据雾霾影响 力值与种群数量变化之间的关系，建立了评判雾霾影响生物链程度的指标。
本文的三种群 Volterra－雾霾影响模型能在取得实际种群的相关数据的情况下，通 过计算得到雾霾影响力值，并以此根据评判指标进行危害性衡量。更进一步地，本模型 也适用于评价其他对植物有直接影响的灾害性因素，可见本模型有一定的推广性，实用 性以及参考性。
在处理雾霾天气下的降质图片时，我们首先分析了雾霾的成因。通过研究雾霾造成 的光线散射的物理过程，提出了霾引起光的衰减模型的 RGB 补偿处理，即在图片中红 绿蓝的颜色通道上，增加计算得到的红绿蓝光在霾中的光强衰减值。对于雾霾天气下能 见度降低导致图像对比度下降的问题，我们用简单而有效的直方图均衡化方法来处理。此外，在上述方法处理得到的图片上，我们用图像引导滤波方法对细节部分进行加强，以此来处理由雾霾造成的成像轮廓模糊的问题，使图片更加符合人的视觉需求。
本文的雾霾图片处理算法能够较好地提升原图的清晰度，色彩饱和度以及对比度，其去霾效果比较突出，整体效果良好，是一种易于实践，可借鉴且有效的算法。
关键词：三种群 Volterra 模型 常微分方程组 霾引起光的衰减模型
直方图均衡化 图像引导滤波
Ⅰ 问题重述
雾天由于湿度大，能见度差，容易造成交通阻塞和引发交通事故；而霾天的细粒子
会造成气溶胶污染，粒子被人体吸收将刺激支气管，加重哮喘、鼻炎等呼吸系统病症，可见雾霾天气对人类活动有很大的危害性。而本文主要讨论两类问题，第一类是由于雾 霾造成的植物光合作用减弱，间接影响生物链的变化问题；第二类是由于雾霾天气能见 度降低，湿度较大造成拍摄的图像降质的问题。所以我们将完成以下 2项内容：
1、建立数学模型描述雾霾天气对于生物链的影响。
2、建立并评价对雾霾天气下拍摄的图片进行处理的算法。
Ⅱ模型的假设
1、三种群能够合理地反映生物链的情况。
2、雾霾的影响时间是持续长久的。
3、雾霾在大气中是均匀分布的。
Ⅲ雾霾对生物链的影响
3.1模型的建立
l三种群 Volterra－雾霾影响模型
在本问题中，我们建立的雾霾对生物链的影响模型是基于三种群 Volterra模型[1][2] 的。
我们知道在一个生态系统中，存在哺乳动物吃植物，爬行动物吃哺乳动物的自然现 像。当植物、哺乳动物、爬行动物在一个自然环境中生存时,我们把植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作 x1(t), x2(t), x3(t)。
对于植物，若不考虑自然资源对植物的限制,植物独立生存时以指数规律增长,相 对增长率为 r1 ,即 x1(t)=r1x1。
考虑到自然资源的有限性，植物，哺乳动物，爬行动物的数量应均遵从 logistic规 律。当植物独立存在时，设 N1，N2，N3分别为植物，哺乳动物，爬行动物在环境资源 容许的最大数量。我们有 x1(t)=r1x1(1− x1)。
N1
而哺乳动物的存在使植物的增长率减小，设减小的程度与哺乳动物的数量和能力成 正比，所以我们设单位数量的哺乳动物（相对于 N2）掠取 σ12倍的单位植物量(相对于 N1)。我们有
x1(t)=r1x1(1− x1 −12 x2)
N1 N2
在本问题中，植物的生长受到了雾霾的影响。霾会使光线粒子发生散射，雾会使光
线粒子发生折射，致使植物受到的光强减弱，导致其光合作用减弱，其增长率减小（见 图 1）。
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