一致连续极限定义_用极限定义证明连续性

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一致连续函数的极限定义

连续函数的极限定义形式是我们熟悉的，一致连续函数却很少出现极限定义形式。还是先看看这两者的区别。先看定义：

函数f(x)在I上连续：xI00x2I:|x2x||f(x2)f(x)| 函数f(x)在I上一致连续：00x,x2I:|x2x||f(x2)f(x)| 令x2xh，则，两个定义可以表示为：

函数f(x)在I上连续：xI00h:|h||f(xh)f(x)| 函数f(x)在I上一致连续：00xIh:|h||f(xh)f(x)| 从在定义中的位置可知：连续函数的随x变化，一致连续函数则不。用关于h0的极限方式来表达：

函数f(x)在I上连续：xI:lim(f(xh)f(x))0 h0

函数f(x)在I上一致连续：lim(f(xh)f(x))0,xI h0

这看不出两者有什么不同，但前者h与x有关，后者则无关。后者可用二重极限表示：

lim(f(xh)f(x))0 xx0h0

问题是，后一个极限中x0在什么范围？我们指出：x0，即I的闭包。于是 函数f(x)在I上一致连续：x0:lim(f(xh)f(x))0 xx0h0

这样，一致连续函数也和连续函数一样，有了极限定义形式。我们将为此作出等价证明。

我们称不属于I的聚点为I的外聚点，如果I端点含，也算外聚点。连续函数和一致连续函数的本质区别发生在外聚点上。

先证函数f(x)在I上一致连续的充分性：x0:lim(f(xh)f(x))0，xx0h0

1)当I无外聚点时，二重极限可表示为：

x000xIh:|xx0||h||f(xh)f(x)|（*）当x0I时，有00h:|h||f(x0h)f(x0)|，于是f(x)在x0连续，由x0的任意性，f(x)在I上连续。当x0是I的外聚点时，对于数列xnx0,xnx0，n足够大时，有

00xnIh:|xnx0||h||f(xnh)f(xn)|

取h0，考虑到x0hI，f(x)在I上连续，令n，则

00:|h||f(x0h)limf(xn)|（这里用到一个极限存在，极限加减n

法便可实施的规则）

当n足够大时，取hn使xnx0hn，则

00:n|f(xn)limf(xn)| n

故f(xn)以limf(xn)为极限，考虑到极限的唯一性，limf(xn)必为确定的数，记为a nn

于是，00:|h||f(x0h)a|，即limf(x)a xx0

若定义f(x0)a，则f(x)在x0上连续，若x0为端点，则为单侧连续。此时f(x)在有限闭集上连续，故必一致连续。于是f(x)在I上也一致连续。

2）当x0是I的外聚点时，二重极限可表示为：

0'','0xIh:|x|'|h|''|f(xh)f(x)|（**）将沿'分为有限部分I1和无穷部分I2，由1）知，f(x)在I1上一致连续。而在I2满足（**），在I1有满足一致连续定义的统一的1，若取min(1,'')，则在整个上，有满足一致连续定义的，于是f(x)在有限闭集上一致连续。在I上也一致连续。再证函数f(x)在I上一致连续的必要性：

由 00xIh:|h||f(xh)f(x)|（***）

若x0I，因f(x)在x0连续，二元函数g(x,h)f(xh)f(x)在(x0,0)必连续，故lim(f(xh)f(x))0 xx0h0

若x0是I的外聚点时，在x0的任意邻域内，都有（***），所以

00xIh:|xx0|,|h||f(xh)f(x)|

或者

0,'0xIh:|x|',|h||f(xh)f(x)|（无穷远邻域）

故lim(f(xh)f(x))0 xx0h0

从证明过程不难发现，对于一个连续函数来说，当且仅当所有外聚点满足

xx0h0lim(f(xh)f(x))0时，函数一致连续。

用二重极限判定一致连续的最大好处，是无需寻找与自变量无关的，找这个是件很烦心的事情，找到固然好，没找到却不能说不一致连续，只说明问题处于悬疑状态。用二重极限则非常明朗，极限为0,则一致连续，否则不一致连续。以计算代替寻找，无疑方便许多。例1：讨论f(x)ex的一致连续性。

解：考虑外聚点，lim(f(xh)f(x))lim(exh0xh0xhex)limex(eh1)limexh xh0xh0

令h1xx1，则limehlime10，故原函数在整个实数集上不一致连续，但在任xxxexeh0

何区间(,a]（a为有限数）上一致连续，因为

x0lim|eh|lime|h|0，故limeh0 xh0h0xaxx0h0

例2：讨论f(x)sin1的一致连续性 x

x0h0解：lim(f(xh)f(x))lim(sinx0h011sin)xhx

取xh=1，则 4n

lim(sinx0h011sin)lim(sinsin)sinsin xhxn22

这个极限随着的取值不同而不同，故原二重极限不存在，函数在定义域上不一致连续，如果去掉0聚点，在|x|a0上，函数则是一致连续，因为仅有的一个外聚点是，而lim(f(xh)f(x))lim(sinxh0xh011sin)0 xhx

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