概率论与数理统计答案 第四章 大数定律与中心极限定理_大数法则之盈定理详解

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第四章 大数定律与中心极限定理

4.1 设D(x)为退化分布：

1x0 D(x)0x0讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？

11(1){D(xn)};(2){D(x)};(3){D(x0},其中n1,2,

nn解：（1）（2）不是；（3）是。4.2 设分布函数Fn(x)如下定义：

0xnFn(x)2n1xnnxn

xn问F(x)limFn(x)是分布函数吗？ n解：不是。4.3设分布函数列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且

F(x)为连续函数，则{Fn(x)}在(,)上一致收敛于F(x)。

证：对任意的0，取M充分大，使有

1F(x),xM;F(x),xM对上述取定的M，因为F(x)在[M,M]上一致连续，故可取它的k分点：

x1Mx2xk1xkM，使有

F(xi1)F(xi),1ik，再令x0,xk1，则有

N时有 F(xi1)F(xi),0ik1（1）

这时存在N，使得当n|Fn(xi)F(xi)|,0ik1（2）

成立，对任意的x(,)，必存在某个i(0ik)，使得x(xi,xi1)，时有 由（2）知当nNFn(x)Fn(xi1)F(xi1)（3）

Fn(x)Fn(xi)F(xi)由（1），（3），（4）可得

（4）

Fn(x)F(x)F(xi1)F(x)F(xi1)F(xi)2，Fn(x)F(x)F(xi)F(x)F(xi)F(xi1)2即有Fn(x)F(x)2成立，结论得证。

n同时依概率收敛于随机变量与，证明这时必有P()1。

0有n，故

24.5 设随机变量序列证：对任意的0PPnPn0,n0

22即对任意的0有P0成立，于是有

11PPP0

kk1kk1从而P()1成立，结论得证。

4.6 设随机变量序列n，n分别依概率收敛于随机变量与，证明：

PP。；（1）nn（2）nn证：（1）因为nnnn故

220P(nn)PnPn0,n

22P成立。即nn2（2）先证明这时必有。对任给的0,2nP0取

M，当

足够大

M11，使有P成立，对取定的2M时有PM，存在N

nNn1Pn成立.这时有

MPnMPn2M

n2Mn1PP{(|n||2|M)(|n|1)}

P(|2|M1)P(|n|1)2从而有

P(|n22|)P(|n||n|)P{(|n||n|)(|n|M)}P{(|n||n|)(|n|M)}P(|n|由,的任意性知2nM)P(|n|M)32nP2，同理可证2，由前述（1）有

2nPP2nn(nn)()222

故nPn，结论成立。

22n4.7 设随机变量序列nPa，a0是一个常数，且n0，证明

1nP1a。

证：不妨设a0对任意的0a，当na时有naa2a(na)a2a，nana2因而。于是有 aaan11 0Pna nananaPPa nnana naPa2aPna0,n。

结论成立。

4.9 证明随机变量序列n依概率收敛于随机变量的充要条件为：

En0,n

1n证：充分性，令f(x)x1'，x0，则f(x)0,x0，故f(x)是x(x0)的21x(1x)单调上升函数，因而nn1||1，于是有

nnPnP1n1 nE0,n

1n1对任意的0成立，充分性得证。

P0，令A:n，因为n，故存在充分大的N必要性，对任给的得当n使N时有P(A)，于是有

nnn)IA EEIAE(11n1nn P(A)2，由的任意性知En0,n，结论为真。

1na，bnb，证明annbn也按4.10 设随机变量n按分布收敛于随机变量，又数列an分布收敛于ab。

0时为显然，不妨设a0（a0时的修改为显然），证：先证明an按分布收敛于a。a若a，，an，n的分布函数分别记作Fax，F，Fan与Fn，则Fax=F，a当x是Fax的连续点时，是F的连续点，于是有

axxlimFan(x)limFnlimFFa(x)nnana成立，结论为真。由4.12知n(an及4.11知nana)0，再由4.6(1)知n(ana)bnb，于是由前述结论

PPbnan(ana)nbn按分布收敛于ab，结论得证。

4.11设随机变量序列{n}按分布收敛于随机变量，随机变量序列{n}依概率收敛于常数a，证明nn按分布收敛于a。

证：记,n的分布函数分别为F(x),Fn(x)，则连续点，则对任给的a的分布函数为F(xa)，设x是F(xa)的时有

0，存在0，使当0（1）|F(xa)F(xa)|由于F(x)在(xa,xa)只能有有限个间断点，可取

012，使得xa1,xa2都是F()的连续点，这时存在N1，当nN1时有

|F(xa1)Fn(xa1)|（2）|F(xa2)Fn(xa2)|（3）

对取定的1，存在N2，当nN2时有

P(|na|1)于是当n，（2），（4）式有 max(N1,N2)时，由（1）

（4）

P(nna)xa)P{(nnaxa)(|na|1)}P{(nnaxa)(|na|1)}P(nxa1)P(|na|1)F(xa)3又因为

(5)P(nxa2)P{[nn(na)x2](|na|2)}P{(nxa2)(|na|2)}于是由（1），（3），（4）式有

P(nnaxa)P{[nn(na)x2](|na|2)}P(nxa2)P(|na|2F(xa)3|P(nnaxa)F(xa)|3（6）

由（5），（6）两式可得

由的任意性即知nn按分布收敛于a，结论得证。

0。

P4.12设随机变量序列{n}按分布收敛于，随机变量序列{n}依概率收敛于0，证明nn证：记,n的分布函数分别为F(x),Fn(x)，对任给的0，取a0,b0足够大，使a,b是F(x)的连续点且

1F(b),F(a)因为Fn(x)F(x)，故存在N1，当nW

N1时有

1Fn(b)2,Fn(a)2令MPmax(a,b)，因为n0，故存在N2，当nN2时有

P(|n|M)

而

P(|nn|)P{(|nn|)[(anb)(|n|P{(|nn|)[(anb)(|n|其中I1M)]}

M)]}I1I20，当nmax(N1,N2)时有

P{(|nn|)(anb)}P{(anb)}P{(na)(nb)}Fn(a)[1Fn(b)]4因而P(|nnP

|)I25，由的任意性知nn0，结论为真。

4.13 设随机变量n服从柯西分布，其密度函数为

pn(x)证明nn 22(1nx)0,n。P证：对任意的0，有

nn1P(|n|)dxn(1t2)dt1,n (1n2x2)故n0,n。P4.14 设{n}为一列独立同分布随机变量，其密度函数为

1p(x)0其中0x其它P

0为常数，令nmax(1,2,,n)，证明n。

证：对任意的n，0n为显然，这时有

nnxP(nx)P(ix)i1i110xdx()n,0x

P(nx)0,x0;P(nx)1,x

对任意的0()，有

P(|n|)P(n)(故nn)0,n P成立，结论得证。

4.15 设{n}为一列独立同分布随机变量，其密度函数为

e(xa)p(x)0令nxa xamin(1,2,,n)，证明na。

P证：设i的分布函数为F(x)，有

1e(xa)F(x)0这时有

nxa xaP(nx)P(i)[1F(x)]nen(xa),xa

i1对任意的0，有 P(|na|)P(na)en0,n

故na成立，结论得证。P4.17设{n}为一列独立同分布随机变量，都服从(0,1)上的均匀分布，若nP(k)k1n1n，证明nc(c为常数），并求出c。

证：这时{lnn}也是独立同分布随机变量序列，且

Enlnxdx1

0P1nx由辛钦大数定律知{lnn}服从大数定理，即有lni1，令f(x)e，则f(x)是直线上

ni11的连续函数，由4.8题知

(i)ei1n1n1nlnini1e1c

P结论成立。

4.18设{n}为一列独立同分布随机变量，每个随机变量的期望为nP2kka。

n(n1)k1n2证：已知Ena，记Dn，令nkkn(n1)k1a，且方差存在，证明

2，则

n2Enkaan(n1)k1Dn对任给的4n2(n1)2k22k1n4n12

0，由契贝晓夫不等式有

142P(|na|)2Dn20,n

n11故na，结论得证。

2P1n2P24.19设{n}为一列独立同分布随机变量，且Dn存在，数学期望为零，证明k。

nk1证：这时{n}仍独立同分布，且En22Dn2，由辛钦大数定律知结论成立。4.21 设随机变量序列{n}按分布收敛于随机变量，又随机变量序列{n}依概率收敛于常数a(a0),n0，则{n}按分布收敛于na。

证：由4.7题知1nn111PP于是由4.12题有n(而0，)0，anaa11nnnnnaa按分布收敛于（见a4.10题的证明），因而由4.11题知

按分布收敛于，结论成立。a4.22设{分布。2n}为独立同N(0,1)分布的随机变量序列，证明nn1k1n2k的分布函数弱收敛于N(0,1)1n2P证：这时{}也为独立同分布随机变量序列，且E1，由辛钦大数定律知i又n11，ni12n2n服从N(0,1)分布，当然弱收敛于N(0,1)分布，由4.21题即知n按分布收敛于N(0,1)分布，结论得证。

1n4.23 如果随机变量序列{n}，当n时有2Dk0，证明{n}服从大数定律（马尔

nk1柯夫大数定律）

证：由契贝晓夫不等式即得。4.26 在贝努里试验中，事件

A出现的概率为p，令

n证明{n}服从大数定律。

1,若在第n次及第n1次实验中A出现

0，其它证：{n}为同分布随机变量序列，且EnEn2p2，因而Dnp2(1p2)1，又当|ij|2时，i与j独立，由4.24知{n}服从大数定律，结论得证。

4.28设{n}为一列独立同分布随机变量，方差存在，又

an1n为绝对收敛级数，令nnii1，则{ann}服从大数定律。证：不妨设En否则令nEn，并讨论{}即可。记E0。'n'n2n2，又c|an|。

n1因为aa(iiii1i1k1nnik)k(ai)，故有

k1iknnnnn1122D(aii)2E{k(ai)]2n2nni1k1ikc22(ai)0,n nk1iknn2由4.23知{ann}服从大数定律，结论得证。4.30设{n}为一列独立同分布随机变量，共同分布为

2k1P(n2)k,k1,2,

k2试问{n}是否服从大数定律？

答：因为En存在，由辛钦大数定律知{n}服从大数定律。4.31设{n}为一列独立同分布随机变量，共同分布为

P(nk)c,k2,3,

k2log2k其中c(11，问{n}是否服从大数定律？)22k2klogk答：因为En存在，由辛钦大数定律知{n}服从大数定律。

4.32 如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95%以上的把握保证所观察到的频率与概率差小于

p的p10，问至少应该做多少次试验？

解：令

n上1第n次试验时图钉的尖头朝 其它0据题意选取试验次数n应满足P(|i1ninp|p)0.95，因为n比较大，由中心极限定理有 10P(|i1ninp|12ep)P(|10x22(i1np)|npq1np)10q

1np10q1np10qdx0.95故应取

1q1np2，即n400，但图钉底部重，尖头轻，由直观判断有p，因而

2p10qq1，故可取n400。p4.33 一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，求在校对后错误不多于15个的概率。解：令

i对后仍错误1第i个印刷符号被排错且校 其它0因为排版与校对是两个独立的工序，因而

pP(i1)0.00010.1105,P(i0)q1p

{i}是独立同分布随机变量序列，Eip，令nii1n，其中n106，由中心极限定理有

bx22P(n15)P(nnpnpq15npnpqb)12edx

其中b5101.58，查N(0,1)分布表即可得P(n15)0.94，即在校对后错误不多于

15个的概率。

4.34 在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年里一个人死亡的概率为0。006，死亡时家属可向保险公司领得1000元，问：（1）保险公司亏本的概率多大？

（2）保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率各为多大？ 解：保险公司一年的总收入为120000元，这时（1）若一年中死亡人数120，则公司亏本；（2）若一年中死亡人数80，则利润中死亡人数40000元；

若一年中死亡人数60，则利润中死亡人数60000元； 若一年中死亡人数40，则利润中死亡人数80000元；

令

i1第i个人在一年内死亡

0第i个人在一年内活着则P(i1)0.006p，记ni,n10000i1n已足够大，于是由中心极限定理可得欲求事件的概率为（1）

P(n120)1P(同理可求得（2）nnpnpq120npnpqb)112bex22dx（其中0b60)

7.723P(n80)0.995(对应的b2.59)

P(n60)0.5(对应的b0)P(n40)0.005(对应的b2.59)

4.35 有一批种子，其中良种占多少？ 解：令

16，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的比例与

16相差

第i粒为良种1 i0第i粒不是良种n11则P(i1)，记p,ni66i1，其中n6000，据题意即要求使满足

P(|nn1n|)0.99。令q1p,b，因为n很大，由中心极限定理有 6npqnp1P(||)P(bnb)n6npq由N(0,1)分布表知当bn12bbex22dx0.99

2.60时即能满足上述不等式，于是知bnpq1.25104，即能以n0.99的概率保证其中良种的比例与

16相差不超过1.2510。

44.36 若某产品的不合格率为0.005，任取10000件，问不合格品不多于70件的概率等于多少？ 解：令

1第i件为不合格品i第i件为合格品0则

pP(i1)0.005，记q1p,nii1n，其中n10000，记b70npnpq，由中心极限定理有

P(n70)P(nnpnpqb)12bex22dx0.998

即不合格品不多于70件的概率约等于0.998。

4.37 某螺丝钉厂的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95？ 解：令

i第i只是合格品10第i只是不合格品

则pP(i1)0.99，记q1p,b100npnpq,nii1n，其中n尚待确定，它应满足P(n100)0.05，由中心极限定理有

P(n100)P(查N(0,1)分布表可取bnnpnpqb)12bex22dx0.05

103只螺丝钉才能使其中含有1.65，由此求得n103，即在一盒中应装100只合格品的概率不小于0.95。

4.39 用特征函数的方法证明“二项分布收敛于普哇松分布”的普哇松定理。证：设{in}1in独立同二项分布，即

P(in1)pn,P(in0)qn1pn,1in

ni的特征函数为(qnpne)，记nin,n的特征函数记作n(t)，因为npniti1n，故pn11o(),qn1o()，于是有 nnnnn(t)(qnpneit)n(1nnniteito(1))n

11(eit1)(eit[1(e1)o()]nne(e而e(eit1)it1)1),n是参数为的普哇松分布的特征函数，由特征函数的逆极限定理即知定理成立，证毕。

4.40 设随机变量服从---分布，其分布密度为

1xxep(x)()0证：当x0x0(0,0)

时，的分布函数弱收敛于N(0,1)分布。

证：的特征函数为(t)(1it)，易知

)的特征函数为

g(t)e而

it(1iteitln(1it)

1t21it2t3ln(1)o()

23)itit因而有

t21it3t3t2itln(1)o(),

232it故limg(t)et22，所以相应的分布函数弱收敛于N(0,1)分布，命题得证。

4.41设{n}为一列独立同分布随机变量，且n服从(n,n)上的均匀分布，证明对{n}成立中心极限定理。

x2n2dx证：易知En0,DnEn2n32nn，于是

k21BDkn(n1)(2n1)

18k1k132nnnn32故Bn3，对任意的0，存在N，使当nN时有

n因而Bnn，从而当nN，1，3|x|Bnx2dFk(x)0，若kn，由此知

1lim2nBnk1n|x|Bnx2dFk(x)0

即林德贝尔格条件满足，所以对{n}成立中心极限定理，结论得证。4.42 设{n},{n}皆为独立同分布随机变量序列，且

{n}与{n}独立，其中

11nEn0,Dn1;P(n1),n1,2,，证明：snii的分布函数弱收敛于正2ni1态分布N(0,1)。

证：这时{nn}仍是独立同分布随机变量序列，易知有

E(nn)0,D(nn)E(nn)2En21

由林德贝尔格---勒维中心极限定理知：sn得证。

4.45 利用中心极限定理证明：

1的分布函数弱收敛于正态分布N(0,1)，结论niii1nnnkn1e,n 2k0k!证：设{n}是独立同分布随机变量序列，共同分布为n1的Poion分布，故

EnDn1,BDkn，由林德贝尔格---勒维中心极限定理知 2nk1n(E)kkn1P(kn)Pk10Bn2k1由Poion分布的可加性知

0et22dt1,n 2k1nk服从参数为n的Poion分布，因而

nnnnknP(kn)e，但e0(n)，所以

n!k1k0k!nn1nnnknnnn1eP(n)e,n kk!n!2k1k0成立，结论得证。

第四章 大数定律与中心极限定理

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第五章大数定律与中心极限定理

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第五章、大数定律与中心极限定理

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第五章++大数定律与中心极限定理

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