立体几何强化练习(6月25)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“立体几何强化练习题”。
立体几何强化练习（2018年6月25）
一．选择题（共2小题）
1．如图，某几何体的三视图中，俯视图是边长为2的正三角形，正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（）
A． B． C． D．
二．解答题（共6小题）
3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．
第1页（共3页）
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．
4．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BEP的体积．
5．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点．求：（1）异面直线BD1与CE所成角的余弦值；（2）点A到平面A1EC的距离．
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．
第2页（共3页）
7．在四棱锥P﹣ABCD中（如图），底面ABCD是直角梯形，M为PC中点，且AB∥DC，又∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．（Ⅰ）求证：CD∥平面MAB；（Ⅱ）求三棱锥M﹣PAD的体；
（Ⅲ）若点K线段PA上，试判断平面KBC和平面PAC的位置关系，并加以证明．
8．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=CE=EF=1．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE．，第3页（共3页）
立体几何强化练习（2018年6月25）
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．如图，某几何体的三视图中，俯视图是边长为2的正三角形，正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
【分析】首先把三视图转化为立体图，然后根据三视图中的线段长和线面的关系，求出锥体的体积
【解答】解：首先把几何体的三视图复原成立体图形 根据三视图中的线段长，得知：AD=，CE=3，AC=2，由于俯视图是边长为2的正三角形，进一步求得：AB=2，AF=1 所以BF=
根据三视图的特点得知：BF⊥底面DACE，VB﹣DACE=SDACE•BF=×故选：A．
=；
第4页（共3页）
【点评】本题考查的知识要点：三视图与立体图的相互转化，求立体图的体积，锥体的体积公式的应用，属于基础题型．
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（）
A． B． C． D．
【分析】由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，根据图中数据计算体积．
【解答】解：由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为，=
； 四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为所以几何体的体积为：故选：C．
【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体．
二．解答题（共6小题）
3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=
第5页（共3页），AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．
【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A1OC．
（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，运用体积公式求解即可得出a的值．
【解答】解：（I）在图1中，因为AB=BC=∠BAD=，=a，E是AD的中点，所以BE⊥AC，即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥面A1OC，由CD∥BE，所以CD⊥面A1OC，（II）即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，根据图1得出A1O=
AB=
a，∴平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，V==
a=
a3，第6页（共3页）
由a=a3=36，得出a=6．
【点评】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．
4．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BEP的体积．
【分析】（Ⅰ）欲证AF∥平面PCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面PCE内一直线平行，取PC的中点G，连接FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，满足定理条件；
（Ⅱ）欲证平面PCE⊥平面PCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面PCE内一直线与平面PCD垂直，而根据题意可得EG⊥平面PCD；
（Ⅲ）三棱锥C﹣BEP的体积可转化成三棱锥P﹣BCE的体积，而PA⊥底面ABCD，从而PA即为三棱锥P﹣BCE的高，根据三棱锥的体积公式进行求解即可． 【解答】解：证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连接FG、EG
∴FG为△CDP的中位线 ∴FGCD
∵四边形ABCD为矩形，∵E为AB的中点 ∴AECD
第7页（共3页）
∴FGAE
∴四边形AEGF是平行四边形（2分）∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE ∴AF∥平面PCE（4分）（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD ∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面ADP又AF⊂平面ADP，∴CD⊥AF
在RT△PAD中，∠PDA=45° ∴△PAD为等腰直角三角形，∴PA=AD=2（6分）
∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CD∩PD=D ∴AF⊥平面PCD ∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PCE ∴平面PCE⊥平面PCD（8分）（Ⅲ）PA⊥底面ABCD
在Rt△BCE中，BE=1，BC=2，（10分）∴三棱锥C﹣BEP的体积 VC﹣BEP=VP﹣BCE=
=
（12分）
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定和三棱锥的体积，属于中档题．
第8页（共3页）
5．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点．求：（1）异面直线BD1与CE所成角的余弦值；（2）点A到平面A1EC的距离．
【分析】（1）延长DC至G，使CG=DC，连结BG、D1G，得出四边形EBGC是平行四边形，找出∠D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角，求出它的余弦值；（2）过A1作A1H⊥CE，交CE的延长线于H．连结AH，求出AH的值，再利用等积法求出点A到平面A1EC的距离． 【解答】解：（1）如图①所示；
延长DC至G，使CG=DC，连结BG、D1G，CG∥EB，且CG=EB，∴四边形EBGC是平行四边形； ∴BG∥EC，∴∠D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角； 又△D1BG中，D1B=，；
即异面直线BD1与CE所成角的余弦值是（2）如图②所示；；
过A1作A1H⊥CE，交CE的延长线于H．连结AH，在底面ABCD中，∵∠AHE=∠CBE=90°，∠AEH=∠CEB，则△AHE∽△CBE，∴ =，且CE=，AE=，第9页（共3页）
∴AH===；
在直角△A1AH中，A1A=1，AH=，∴A1H=；
设点A到平面A1EC的距离为d，由三棱锥体积公式可得：，即解得，．；
即点A到平面A1EC的距离为
【点评】本题考查了空间中的点、线、面的位置关系以及空间想象能力与计算能力，解题时找角是关键，是综合性题目．
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF∥平面PCD；
第10页（共3页）
（2）平面BEF⊥平面PAD．
【分析】（1）要证直线EF∥平面PCD，只需证明EF∥PD，EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD即可．
（2）连接BD，证明BF⊥AD．说明平面PAD∩平面ABCD=AD，推出BF⊥平面PAD；然后证明平面BEF⊥平面PAD． 【解答】证明：（1）在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴EF∥PD．
又∵EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD ∴直线EF∥平面PCD．（2）连接BD．在△ABD中，∵AB=AD，∠BAD=60°．即两底角相等并且等于60°，∴△ABD为正三角形． ∵F是AD的中点，∴BF⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BF⊥平面PAD．
又∵BF⊂平面EBF，∴平面BEF⊥平面PAD．
第11页（共3页）
【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．
7．在四棱锥P﹣ABCD中（如图），底面ABCD是直角梯形，M为PC中点，且AB∥DC，又∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．（Ⅰ）求证：CD∥平面MAB；（Ⅱ）求三棱锥M﹣PAD的体；
（Ⅲ）若点K线段PA上，试判断平面KBC和平面PAC的位置关系，并加以证明．
【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理证明即可；（Ⅱ）根据棱锥的体积公式计算即可；（Ⅲ）先求出BC⊥AC，再求出BC⊥平面PAC，从而得到平面PAC⊥平面KBC．
【解答】（Ⅰ）证明：因为AB∥CD，又AB⊂平面MAB，CD⊄平面MAB，∴CD∥平面MAB；
（Ⅱ）解：∵M是PC中点，∴M到面ADP的距离是C到面ADP距离的一半，∴（Ⅲ）平面PAC⊥平面KBC，证明：如图示：
在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，∴AE=DC=1，又AB=2，∴BE=1，在Rt△BEC中，∠ABC=45°，∴，∴AD=CE=1，第12页（共3页）；
则∴BC⊥AC，AC2+BC2=AB2，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，而PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，又因为BC⊂平面KBC，所以平面PAC⊥平面KBC．
【点评】本题考察了线面平行的判定定理，线面、面面垂直的判定定理，考察棱锥的体积，是一道中档题．
8．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=CE=EF=1．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE．，【分析】（Ⅰ）证明平面BDE外的直线AF平行平面BDE内的直线GE，即可证明AF∥平面BDE；
（Ⅱ）证明CF垂直平面BDF内的两条相交直线：BD、EG，即可证明求CF⊥平面BDF；
【解答】证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G． 因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形，第13页（共3页）
所以AF∥EG，因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．
（Ⅱ）连接FG．因为EF∥CG，EF=CG=1，且CE=1，所以平行四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG． 因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC．
又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，所以BD⊥平面ACEF． 所以CF⊥BD．又BD∩EG=G，所以CF⊥平面BDE．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
第14页（共3页）
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