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教学植树问题，建构植树模型
——由赵刚老师的《植树问题》一节课所得的启示与反思
许强
假期研修中，认真观看了赵刚老师的《植树问题》的及教学视频，收获颇多，启发很大。现在进行以下梳理，以期进行更好的学习吸收。
纵观这节课，赵老师上课的思路非常清晰,遵从“从生活中来到生活中”的原则，以“感知---探究---应用”为主线, 让学生通过“观察、操作、探究、思考、归纳”等活动，初步体会解决植树问题的思想方法（模型思想），建构起“植树模型”，培养学生从实际问题中探索解决问题有效方法的能力。
一、从生活中感知植树问题。
数学知识生活化，是一个教学大趋势。学习数学的目的就是为了在生活中能自如地应用。教学中，如果例子举得好，可以起到“四两拔千斤”的功效。赵老师这节课从始至终，都很好的贯彻了这一原则。
1、导入新课生活化。上课伊始，赵老师向学生展示出孩子们最司空见惯的手掌，抛出问题：“在我的手上，你看到了数字几？”学生很容易回答：“数字5。”“数字5表示什么？”“手指数。”接下来，老师再问“你还看到了数字几？”“数字４。”“数字４表示什么”“手指与手指之间的距离有４个.”老师引出了“间隔”这个词，很容易就过渡到了《植树问题》这个课题，让学生初步感知到了数学的模型思想。
2、探究问题生活化。在引导学生探究时，赵老师跟学生谈话：“学校榆山校区准备对校园作进一步绿化，要求设计植树方案一份，择优录取。大家愿意尝试一下吗？我们先来看看学校的设计内容吧：在小路的一边种5棵树。请按照要求设计一份植树方案，并说一说为什么这样设计？”听说要为学校设计植树方案，很显然，学生的探究热情被调动起来了。
3、应用问题生活化。探究结束后，赵老师给学生的问题也都是学生生活中很容易见到的。譬如：悬挂气球问题，剪彩带问题。包括课后的检测题：16名小学生排成一列纵队，每两名小学生之间相距1米，这列队伍长()米；校运会的运动场上，1条跑道有2条石灰线，4条跑道有()条石灰线；在一条全长2km的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50m安一盏。一共要安装多少盏路灯？这样生活中常见的问题让学生感觉到学习数学是有用的，从而提高学习兴趣，激发学习热情。
二、在探究中思考植树问题。
新修订的课标强调学生的感知与体验，想象与归纳，老师适时地创造让学生动手操作、自主探究的机会，有利于学生对知识的理解，也能帮助学生积累学习经验，让学生有体验、有积累、有收获。
1．经历观察、操作过程，积累体验性经验。赵老师在教学“植树问题”时，先引导学生进行动手操作，用学具摆一摆怎么种树，自己设计植树方案，让学生逐渐地意会、体验、感悟。为了让学生“动”起来，在“动”的过程中体验知识的形成过程，老师不断地提出问题，“按照你的设计方案，你把这条小路分成了几段？”让学生想一想、做一做、说一说，既满足了学生的表现欲望，又培养了学生自主探究的能力。学生对植树棵数和段数的关系有了初步的感性认识，丰富了学生的感性材料，为学生顺利发现并总结规律打下了基础。2．经历探究、思考过程，积累方法性经验。这里的“探究”指的是融行为操作与思维操作于一体的活动。本册的“数学广角──植树问题”教材编者意图是让学生初步认识“化繁为简”的思想，并通过各种活动，借助直观图理解“间隔数与棵数”之间的数量关系。赵老师通过不断的提问“两端都栽时，种5棵树有几个间隔？”“4棵“呢？”“3棵呢？”“……”逐一类推“50棵呢？”“100棵呢 ？”来引导学生不断积累方法性经验。
3．经历概括、反思过程，积累“数学地思考”的经验。概括是形成和掌握概念的直接前提。如果没有概括，就无法进行逻辑推理，就达不到思维的深刻性.赵老师在学生积累了足够的方法法性经验后，有意识地引导学生进行数学思考,“同学们，你们有没有发现，在两端都种时，种的棵树和间隔数有什么关系？”学生最后很容易就得出了两端都栽时，棵树和间隔数的关系：“棵树=间隔数+1”“间隔数=棵树-1”。
三、在应用中建构“植树模型”
教材中设置“数学广角”单元教学内容的目的不是教会学生机械的公式和抽象的模型，而是让学生体探索建立模型的过程和数学思想方法。在“植树问题”的教学中，赵老师引导学生根据实际问题情境，从简单的情况入手，在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经历建立数学模型的过程，帮助学生积累数学活动的经验，提高学生解决实际问题的能力。
当然，这节课的不足之处也有待商榷。学生在做“剪彩带”的问题时，表现得不太自信，有一部分学生会求间隔数，但不能运用规律+1，这说明，学生的“一一对应”的思想没有得以确立，“植树模型”还没有得以牢固建立。“植树问题”的本质就是点与段之间的对应问题。“模式建构”与“一一对应”的思想要比“植树问题三种情况的区分”更为重要。赵老师的这节课在这方面还有所欠缺
在现实生活中，植树问题披着形形色色的外衣，存在着复杂多样的情况，如安装路灯、走楼梯、锯木头、挂气球、剪彩带等，而学生常常会被这些美丽的外表所迷惑。因此，我们必须抓住它们的本质，从这些复杂的现象中抽象出它们最本质的数学模型。我们在设计时要考虑到实际生活的纷繁复杂，以两端都种为基础展开研究，充分利用线段图帮助学生在头脑中建构起一个完整的植树问题的数学模型。在练习设计时，要注重习题的灵活性、开放性，避免学生死记规律机械化操作。让学生在解决具体问题情境的过程，发现并感悟植树问题其它两种情况下棵数与间隔数之间的联系，并学会根据实际情况选择合适的方式解决问题。
赵老师反思的好，他说：“教学是一门遗憾的艺术。”每种教法都是一种大胆的尝试过程，总在摸索中不断完善。任何一个数学模型的建构都不可能是一蹴而就的，如同制作建筑模型般，它需要充足的材料，充足的时间，更需要充足的耐心来搭建它。切莫让结果代替过程，与学生一起共同经历这个不可或缺的美妙的建构过程，让师生共同成长吧！
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