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第5章 大数定律与中心极限定理
一、基本要求
1、掌握切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律成立的条件及结论.大数定律多用于进行理论的论证,一般不便于处理具体问题.会证明切比雪夫大数定律和伯努利大数定律.
2、掌握列维-林德伯格定理及棣莫弗-拉普拉斯定理的结论和应用条件,并会应用这两个定理进行近似计算.
㈠ 依概率收敛
定义 称随机变量列,有
依概率收敛于随机变量Z,如果对任意给定的.
随机变量列
依概率收敛于A,有时记作,特别,Z可以是常数A或
.
㈡ 大数定律
1、切比雪夫(切贝绍夫)大数定律 设为两两独立(或两两不相关)的随机变量列,给定的,有
存在,且存在常数C,使,则对任何
切比雪夫大数定律是切比雪夫不等式的推论(见(4.7)式).
2、伯努利大数定律
设是“事件A在试验中出现”的概率;
依概率收敛于
是n次: 独立重复试验(伯努利试验)中事件A出现的频率,则
.
直观上表示当n充分大时
.
3、辛钦大数定律 设
存在,则
独立同分布随机变量,只要数学期望
.
即当n充分大时,有
.
㈢ 中心极限定理 中心极限定理是关于“随机变量之和的极限分布是正态分布”的一系列定理的总称.
1、棣莫弗-拉普拉斯定理 设随机变量X服从参数为的二项分布,则当n充分大时,X近似地服从正态分布
或近似地
.(1)局部定理 对于任意p(0
,当n充分大时,有
(2)积分定理 对于任意p(0
,当n充分大时,其中
.
2、列维-林德伯格定理 设是独立同分布随机变量,其数学期望和方差存在:,则当n充分大时近似地,即对于任意实数,当n充分大时,有,其中;,其中
.
三、典型例题及其分析
例5.2.1 在每次试验中,事件验中事件
发生的概率为0.5,利用切比雪夫不等式估计:在1000次试发生的次数在400次至600次之间的概率.【思路】设1000次试验中事件发生的次数为,则服从参数为的二项分布,因而再用切比雪夫不等式估计概率
【解】 在切比雪夫不等式400次至600次之间的概率为
中,取则事件发生的次数在【解毕】
例5.2.2 如果随机变量的概率密度为,且存在,证明:对任意
有
【思路】 利用切比雪夫不等式的证明方法.【证明】 由于函数在内单调递增,故事件,因此
【证毕】
【技巧】 证明中的关键一步是对被积函数乘以大于1的因子际上是考查切比雪夫不等式的证明.,使等式变为不等式.次题实例5.2.3 设随机变量相互独立,且服从相同的分布:
有 又存在.试证明:对任意
【思路】 类似于切比雪夫大数定律的证明.【证明】 由于的期望为
令的方差为,则
由于仍相互独立的,故的期望和方差分别为
对应用切比雪夫不等式知
时,由极限的夹逼定理知 当
【证毕】
【寓意】 本题是考查切比雪夫大数定律的证明技巧.结论的另一种写法为:,即样本二阶矩依概率收敛于总体二阶矩.这是统计中的一重要结论.例5.3.1 某保险公司经多年的资料统计表明,在索赔户中被盗户占20%,在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔数为随机变量
(1)写出的概率分布;(2)利用德莫佛-拉普拉斯定理,求被盗德索赔户数不少于14户且不多于30户的概率近似值.(1988年考研题)
【解】(1)据题意可知,100家索赔户中被盗的索赔户数为,即的分布律
(2)由理知
利用德莫佛-拉普拉斯定
【解毕】
【技巧】 德莫佛-拉普拉斯定理在实际中由广泛的应用,运用此定理计算概率近似值时,其关键是:“标准化”和“正态近似”,当越大时,所得得近似值越精确.例5.3.2 计算器在进行加法时,将每一加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的,上服从均匀分布.且在(1)若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90?
【思路】 设每个加数的舍入误差为,由题设知独立同分布,且因此,可利用独立同分布的中心极限定理,即林德伯格-列维中心极限定理,来进行近似计算.【解】 令同上所设,由于,从而
(1)记为将1500个数相加的误差总和,则有,从而由林德伯格-列维中心极限定理知近似地服从,从而
即误差总和的绝对值超过15的概率约为0.1802.(2)记表示将n个数相加的误差总和,要使由林德伯格-列维定理可知,近似服从
.故
即
查表得 故
故最多有443个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.【解毕】
【寓意】 本题是独立同分布中心极限定理——林德伯格-列维定理的典型应用题,解题中关键还是要将所求问题“标准化”为定理所要求的形式.综例5.4.1 现有一大批种子,其中良种占1/6,现从中任取6000粒种子,试分别用切比雪夫不等式和用中心极限定理计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率.【解】 设随机变量于是 表示所取6000粒种子中良种的粒数,由题意可知,,(1)要估计的概率为等式中取于是由切比雪夫不等式可得
相当于在切比雪夫不
(2)由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理,二项分布可用正态分布近似。于是所求概率为
【解毕】
【寓意】 从本例看出:由切比雪夫不等式只能得出要求的概率不小于0.7685,而由中心极限定理可得到要求的概率近似等于0.9625.从而可知,由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的,但由于它的要求较低,只需知道的期望与方差,因而在理论上由许多应用.综例5.4.2 设匀分布,在区间上连续,并记
同分布,设
设随机变量服从上的均
独立且与
且
(1)求和,并证明:
(2)对任意,利用中心极限定理估计概率
.【解】(1)由于,且与
独立同分布,故
又因为相互独立,故
也相互独立,从而
于是,对任意,由切比雪夫不等式得
所以
(2)由林德伯格-列维中心极限定理知
因此,对任意,有
【解毕】
【寓意】 本题是大数定律与中心极限定理的一个综合题,其中涉及的期望与方差的计算以及极限定理的运用都是经典的方法,读者应当熟练掌握和运用.本题实际上是实际问题中,利用蒙特卡罗方法计算积分的理论依据之一.综例5.4.3 抽样检查产品质量时,如果发现次品多于10个,则拒绝接受这批产品,设某批产品的次品率为10%,问至少应抽所少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9?
【解】 设为至少应抽的产品数,拉斯定理有
为其中的次品数,对故由德莫佛-拉普
当充分大时,由题意知
即
查表得 即
【解毕】
【技巧】 本题是一典型的用德莫佛-拉普拉斯定理近似计算的题.从解题过程中可以发现,二项分布其实可看成是一个独立同分布的0-1分布的和,即其中
综例5.4.4 设某种器件使用寿命(单位:小时)服从指数分布,平均使用寿命为20小时,具体使用时是当一器件损坏后立即更另一新器件,如此继续,已知每一器件进价为a元,试求在年计中应为此器件作多少元预算,才可以有95%的把握一年够用(定一年有2000个工作小时).【解】设第个器件的使用寿命为由于服从参数为的指数分布,且所以,从而
假定一年至少准备件才能有95%的把握够用,若记
相互独立,则问题应为求,由独立同分布的中心极限定理知
故
查表得 即
因此每年应为此器件至少作出118a(元)的预算,才能有95%的把握保证一年够用.【解毕】
综例5.4.5 设某农贸市场某商品每日价格的变化是均值为0,方差为有关系式的随机变量,即
其中,量(表示第n天该商品的价格,为均值为0,方差为的独立同分布随机变表示第n天该商品价格的增加数),如果今天该商品的价格为100,求18天后该商品的价格在96与104之间的概率.【思路】 设表示今天该商品的价格,为18天后该商品的价格,则
因此,问题为求的独立同分布中心极限定理来近似确定.而这个概率可利用林德伯格-列维【解】 由于且是独立同分布的,从而,由林德伯格-列维定理知
【解毕】 【技巧】 本题的关键是要将表示为从而将问题转化为求独立同分布随机变量和落在某个区间的概率,而这个问题的解决只需用林德伯格-列维定理就可以了.综例5.4.6 假设是来自总体的简单随机样本,已知
试证:当n充分大时,随机变量并指出其分布参数.近似服从正态分布,(1996年考研题)
【证明】 若设故独立同分布,且与,则由于
有相同分布,从而
是来自总体的简单随机样本.也是独立同分布,且
于是,根据独立同分布的林德伯格-列维中心极限定理,得
即
亦即近似服从标准正态分布,故当n充分大时,近似地有
【证毕】
【寓意】 本题其实是数理统计中,大样本场合下统计量得渐进分布得计算问题,这类问题在求统计量的抽样分布时是经常出现的,关键是利用独立同分布的中心极限定理来求它们的近似分布.
第五章中心极限定理教学要求 1.掌握切比雪夫不等式.2.了解切比雪夫、伯努里、辛钦大数定律成立的条件及结论理解其直观意义.3.掌握棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理和列维—林德伯格......
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