用缩放法证不等式_几种不等式的巧妙证法

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用缩放法证明不等式

四川省广元市宝轮中学

唐明友

所谓缩放法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的缩小和放大的过程，在使用缩放法证题时要注意缩和放的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用缩放法证题的常见题型。

一.“添舍” 缩放

通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1.已知a、b、c不全为零，求证：

a2abb2b2bcc2c2aca2＞3（abc）

23b2＞（ab）ab≥ab，证明：因为a2abb2（ab）4222222同理b2bcc2＞bc，c2aca2＞ca。22所以a2abb2b2bcc2c2aca2＞3（abc）

2二.分式缩放

一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。

例2.已知a、b、c为三角形的三边，求证：1＜a＋b＋c＜2。

bcacabba证明：由于a、b、c为正数，所以a＞，b＞，bcabcacabcc＞cabc＋b＋c＞＋＋＝1，所以bacaca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋cabababc又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则a为真分数，则a＜2a，bcabcbc同理b＜ac2b，c＜2c，abcababc2b2c＋b＋c＜2a＋＋2.故bacacabcabcabcab

综合得1＜a＋b＋c＜2。

bcacab三.裂项缩放

若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。

例3.已知n∈N*，求证：11n2nn12213„1n＜2n。

证明：因为„1n＜nn12（nn1），则11213

＜12（21）2（32）„2（nn1）2n1＜2n，证毕。

四.公式缩放

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再缩放，可获简解。例4.已知f(x)1x2，求证：当ab时f（a）f（b）ab。证明：

f（a）f（b）1a21b2a2b21a21b2abab1a21b2

ababab(ab)ababab，证毕。

五.换元缩放

对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行缩放，可达解题目的。

例5.已知abc，求证

1110。abbcca证明：因为abc，所以可设act，bcu(tu0)，所以tu0则11111111tu1110，所以0。abbccatuututtuabbcca

六.单调函数缩放

根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行缩放求解。例6.已知a，b∈R，求证

ab1aba1ab1b。

证明：构造函数f(x)f(x1)f(x2)x(x0)，首先判断其单调性，设0x1x2，因为1xx1x2x1x20，所以fx1fx2，所以f(x)在1x11x2(1x1)(1x2)[0,]上是增函数，取x1ab，x2ab，显然满足0x1x2，所以f(ab)f(|a||b|)，即 |ab||a||b||a||b||a||b|。证毕。

1|ab|1|a||b|1|a||b|1|a||b|1|a|1|b|

用放缩法证不等式常用的式子

用放缩法证不等式常用的式子(1)2(n1) nn1n(n1)nn(n1)n1n111(2)n1nnn1(n1)n1n2nnn12n1(3)nn(n1)(n1)2(4)nn1(nN).n1n2......

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