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一级倒立摆控制系统状态方程的建模及全维观测器设计
摘 要：本文对一级倒立摆系统的状态方程建模及观测器设计进行了研究，对于系统建立了数学模型并进行了分析，调整其极点配置后设计出一种稳定的系统结构，同时利用MATLAB完成仿真。最后基于先前的结果设计了一种全维观测器并进行了仿真，结果表明，仿真得到稳定的响应。
关键词：倒立摆；数学建模；全维观测器
中图分类号：TP273 文献标志码：A
Abstract： The system state equations and design of full-dimensional observer for first-order inverted pendulum is probed in this paper while analyzing its mathematics model for this system.Then designed a stable system structure after adjusting the pole aignment of this system and used MATLAB to complete the simulation.Finally，based on previous results designed a full-order observer and simulated to obtain stable response.Keywords： first-order inverted pendulum； mathematics modeling；full-dimensional observer
倒立摆是一个经典的多变量、非线性、不稳定的系统，又具有强耦合、自然不稳定等特点。因此常常出现在控制理论课程教学中和各种控制策略的验证里。其目标就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置[1]。它是一种验证控制算法的理想模型，对于系统的稳定性、可控性、可观性、鲁棒性和系统的抗干扰能力等抽象概念均能较为直观的表现出来[2]。从研究其平衡控制中设计出的创新性策略，被应用于航天、军工、机器人及一般工过程中，如控制双足机器人行走、海上钻井平台的稳定、飞机安全着陆、火箭发射的垂直态等，对于设计新策略与开发新型实验设备同样具有重要意义[3-4]。
本文讨论了一级倒立摆的系统状态方程建模与分析、极点配置对系统稳定性的影响和全维观测器设计。
1.一级倒立摆控制系统状态方程建模
一级倒立摆系统的系统原理图如图 1.1 所示，长度为 L，质量 m 的单倒置摆，用铰链安装在质量为 M 小车上，小车受执行电机操纵，在水平方向施加控制力 u，相对参考系产生位移r[5]。
系统数学模型：1）在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u平衡；2）由于绕摆轴旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡；对小车和摆杆分别进行受力分析，忽略掉摩擦的因素即b=0，一级摆杆转动惯量I近似为0，得到以下两个微分方程：
响应曲线最终趋于稳定，可知配置极点较为合适，已使系统变为稳定系统。
4.设计全维观测器
观测器分为全维观测器和降维观测器两种。观测器的阶数与系统相同的称之为全维观测器，否侧称为降维观测器。降维观测器输出中不可避免地要混有噪声并在其他状态估值信号中反映出来。而全维观测器可在一定条件下控制噪声[8]。
设观测器的输出反馈阵H，H为4行1列，为，系统的特征多项式为：；由于系统完全能观，可构造任意配置特征值的全维观测器。取配置全维观测器极点为：-3，-2，-1+i，-1-i[9]；解得：。系统结构图如上图。
5.结论：
对于控制理论实验来说，一级倒立摆是一个非常理想的模型。本文首先在牛顿力学基础上建立了数学模型，对于模型进行分析并建立其系统结果框图。在对系统的能控性，能观性，稳定性分别进行分析之后，发现系统是可控可观却不稳定。接着对系统进行调整，通过状态反馈改变极点后，得到了稳定的系统。最后根据系统完全能观得到合理的特征值的全维观测器，得到稳定的系统响应，运用MATLAB对系统进行参数选择并加以分析。最后通过几次仿真结果得出，全维观测器具有一定的降噪功能。
参考文献
[1]史晓霞，张振东等.二级倒立摆系统数学模型的建立意义[J].河北工业大学，2001，30（5）：48-51.[2]阳武娇.基于MATLAB 的一阶倒立摆控制系统的建模与仿真[J].设计参考，2007，9（1）：29-31.[3]孙灵芳，孔辉，刘长国等.倒立摆系统及研究现状[J].机床与液压，2008，36（7）：306-310.[4]汤乐.倒立摆系统建模与控制方法研究[D].河南大学，2013.DOI：10.7666/d.D371640.[5]詹长书，孙世磊，葛强等.基于 SimMechanics 的单级倒立摆建模和仿真[J].森林工程，2014，30（6）：63-66.[6]刘丽，何华灿.倒立摆系统稳定控制之研究[J].计算机科学，2006，33（5）：214-219.[7]徐若冰.基于极点配置的倒立摆控制设计[D].哈尔滨工程大学.2007.[8]高龙.全维观测器的新设计方法[J].控制理论与应用，1985，2（1）：44-52.[9]赵晓琨，杜永贵.全维观测器问题的算法研究[J].软件，2010，31（11）：73-75.
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