多面体与正多面体_911多面体与正多面体

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9.11 多面体与正多面体

●知识梳理

1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体.2.正多面体有且只有5种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.●点击双基

1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是

A B C D

答案：B 2.正多面体只有_____________种，分别为________________.答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体

3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，则直线AM与CN所成的角的余弦值是_____________.解析：过N作NP∥AM交AB于点P，连结C1P，解三角形即可.答案： 2 5●典例剖析

【例1】 已知甲烷CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ等于

A.－B.1

3C.－

1D.2解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得 cosθ=(3)2(3)2(22)2233=－

1（设正方体的棱长为2）.3答案：A 【例2】 试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离.解：如图，设正八面体的棱长为4a，以中心O为原点，对角线DB、AC、QP为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－22a，0）、B（22a，0，0）、C（0，22a，0）、P（0，0，22a），设E为BC的中点，连结PE、QE、OE，则∠PEQ=2∠PEO即为所求二面角的平面角，∵OE=2a，OP=22a，∴tan∠PEO=2，∠PEQ=2arctan2.设n=（x，y，z）是AB与PC的公垂线的一个方向向量，则有n·AB=x+y=0，n·PC=y－z=0，解得

zPDAOCEBxQy n=（－1，1，1），所以向量BC=（－22a，22a，0）在n上的射影长d=即为所求.|nBC|3=

46a3特别提示

由于正多面体中的等量关系、垂直关系比较多，所以便于建立直角坐标系，运用解析法处理.要注意恰当选取坐标原点，一般取其中心或顶点（如正四棱柱）.【例3】 三个12×12 cm的正方形，如图，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片〔如图（1）〕，把6片粘在一个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积.BA(1)(2)(3)

解法一： 补成一个正方体，如图甲，V=

11V正方体=×123=864 cm3.22 甲

乙

解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V=V大三棱锥－3V小三棱锥=864 cm3.思考讨论

补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是求多面体体积的常用方法.●闯关训练 夯实基础

1.每个顶点处棱都是3条的正多面体共有 A.2种

B.3种

C.4种

D.5种

解析：正多面体只有5种.答案：B 2.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，E、F分别为AB、BC的中点，则异面直线C1O与EF的距离为_____________.D1A1B1C1DAE OFBC4培养能力

3.四面体的一条棱长是x，其他各条棱长为1.（1）把四面体的体积V表示为x的函数f（x）；（2）求f（x）的值域；（3）求f（x）的单调区间.解：（1）设BC=x，则S到平面ABC的垂足O是△ABC的外心，连结AO并延长交BC答案：

4x2x于D，则D是BC的中点，且AD⊥BC，求得AD=，SABC=

24S4x2.AODBC

3x2设△ABC的外接圆的半径为R，求得R=，SO=，224x4x1∴V=1xSABC·SO=3123x2（0＜x＜3）.（2）f（x）=x123x2=12x2(3x2)=

11239(x2)2，24∵0＜x2＜3，∴f（x）∈（0，（3）∵当x=

1）.86时，f（x）取得最大值，266］，递减区间是［，3）.224.（文）已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，O为AC与BD的交点，M为DD1的中点.又∵0＜x＜3，∴f（x）的单调递增区间是（0，D1A1MDAOBB1C1C

（1）求证：直线B1O⊥平面MAC；（2）求二面角B1—MA—C的大小.（1）证明：∵BB1⊥平面ABCD，OB⊥AC，∴B1O⊥AC.连结MO、MB1，则MO=3，B1O=6，MB1=3.∵MO2+B1O2=MB12，∴∠MOB1=90°.∴B1O⊥MO.∵MO∩AC=O，∴B1O⊥平面MAC.（2）解：作ON⊥AM于点N，连结B1N.∵B1O⊥平面MAC，∴AM⊥平面B1ON.∴B1N⊥AM.∴∠B1NO就是二面角B1—MA—C的平面角.∵AM=5，CM=5，∴AM=CM.又O为AC的中点，∴OM⊥AC.则ON=OAsin∠MAO=235=

65.在Rt△B1ON中，tan∠B1NO=

B1O=5，ON∴∠B1NO=arctan5，即所求二面角的大小为arctan5.说明：本题的两问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的.第（2）问中构造二面角的平面角的方法是典型的三垂线法.（理）在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB与C1D1的中点.（1）求证：四边形A1ECF是菱形；（2）求证：EF⊥平面A1B1C；

（3）求A1B1与平面A1ECF所成角的正切值.（1）证明：取A1B1的中点G，连结C1G、GE.∵A1G∥FC1且A1G=FC1，∴A1GC1F是平行四边形.∴A1F∥C1G.同理C1G∥CE.∴A1F∥CE.由勾股定理算得A1E=A1F=CE=CF=

5a，∴四边形A1ECF是菱形.2（2）证明：连结C1B，∵E、F分别为AB与C1D1的中点，∴C1F=BE.又C1F∥BE，∴C1FEB为平行四边形.∴C1B∥EF.而C1B⊥B1C，∴EF⊥B1C.又四边形A1ECF是菱形，∴EF⊥A1C.∴EF⊥面A1B1C.（3）解：由（2）知，EF⊥平面A1B1C，又EF平面A1ECF，∴平面A1B1C⊥平面A1ECF.∴B1在平面A1ECF上的射影在线段A1C上.∴∠B1A1C就是A1B1与平面A1ECF所成的角.∵A1B1⊥B1C，在Rt△A1B1C中，tan∠B1A1C=

B1C=2.∴A1B1与平面A1ECF所成角A1B1的正切值为2.探究创新

5.（2003年烟台诊断性测试）（B）正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，且AC与BD交于点O，E为棱DD1的中点，以A为原点，建立空间直角坐标系A—xyz，如图所示.zA1B1C1F O CD1E Dy A Bx

（1）求证：B1O⊥平面EAC；

（2）若点F在EA上且B1F⊥AE，试求点F的坐标；（3）求二面角B1—EA—C的正弦值.（1）证明：由题设知下列各点的坐标： A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，2，1），B1（2，0，2）.由于O是正方形ABCD的中心，∴O（1，1，0）.∴B1O =（－1，1，－2），AC=（2，2，0），AE=（0，2，1）.∴B1O·AC=（－1，1，－2）·（2，2，0）=－1·2+1·2－2·0=0，·（0，2，1）=－1·0+1·2－2·1=0.B1O·AE=（－1，1，－2）∴B1O⊥AC，B1O⊥AE.∴B1O⊥平面ACE.（2）解：设点F的坐标为F（0，y，z），则B1F =（－2，y，z－2），∵B1F⊥AE，∴B1F·AE=（－2，y，z－2）·（0，2，1）=2y+z－2=0.又∵点F在AE上，∴AF =λAE（λ∈R）.又AF=（0，y，z），∴（0，y，z）=λ（0，2，1）=（0，2λ，λ）.①

y2,于是

z

②

242，y=，z=，55542∴F（0，）.55由①②可得λ=（3）解：∵B1O⊥平面EAC，B1F⊥AE，连结OF，由三垂线定理的逆定理得OF⊥AE，∴∠OFB1即为二面角B1—EA—C的平面角.∵|B1O|=(1)212(2)2=6，又B1F=（－2，48，－），556548∴|B1F|=(2)2()2()2=.555在Rt△B1OF中，sin∠B1FO=|B1O||B1F|=

30.6故二面角B1—EA—C的正弦值为

30.6●思悟小结

1.割补法是求多面体体积的常用方法.2.理解多面体、正多面体、凸多面体的概念，熟悉五种正多面体.●教师下载中心 教学点睛

学习本节要使学生理解多面体、正多面体的概念.拓展题例

【例1】 正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线CD1和BC1所成的角是 A.60°

B.45°

C.90°

D.120°

解析：连结D1A1、AC，知△ACD1是等边三角形，且D1A∥BC1，所以BC1与CD1所成的角是60°.答案：A 【例2】 边长为a的正三角形，要拼接成一个正三棱柱且不剩料，应如何设计?（在图中用虚线画出）

AA1O BB1C1C

解：设O为△ABC的中心，连结OA、OB、OC，并设OA、OB、OC的中点分别为A1、B1、C1，过A1、B1、C1分别向三边作垂线，则所得三个矩形即为三个侧面，三个角上的小四边形拼在一起即为上底面.【变式】 △ABC若为一般三角形，又如何拼接？

【例3】 如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1B1和B1C1的中点.D1A1E B1FC1DABC

（1）求二面角B1—BF—E的大小.（2）求点D到平面BEF的距离.（3）能否在棱B1B上找到一点M，使DM⊥面BEF？若能，请确定点M的位置；若不能，请说明理由.解：（1）过B1作B1G⊥BF于G，连结EG，则由EB1⊥面B1BCC1，可知EG⊥BF.D1A1E NFB1G HDABMCC1

∴∠B1GE是二面角B1—BF—E的平面角.在Rt△BB1F中，B1B=a，B1F=∴BF=B1B2B1F2=

a，25a，2aBBB1F2=5 a.B1G=1=

5BF5a2a5a，B1G=a，52aBE5∴tan∠B1GE=1=2=.2B1G5a5在Rt△B1GE中，B1E=∴∠B1GE=arctan5.25.2故二面角B1—BF—E的大小为arctan（2）连结B1D1与EF交于N，则EF⊥B1D1.又BB1⊥EF，∴EF⊥面BB1D1D.又EF面BEF，∴面BEF⊥面BB1D1D，且面BEF∩面BB1D1D=BN.过D作DH⊥BN于H，则DH⊥面BEF.∴DH的长即为点D到面BEF的距离.在矩形BB1D1D中，易证△BDH∽△NBB1，∴

BB1DBa2a4DHDB4=，DH===a.故点D到面BEF的距离为a.BB1BNBN3332a4（3）在平面BB1D1D中，延长DH交BB1于M，由（2），DH⊥面BEF，∴DM⊥面BEF.由△BDM∽△B1BN，有

BMBD=，B1NBB1∴BM=BDB1N=BB12a2a4=a.a2则M为BB1的中点.故在棱BB1上可找到点M，使DM⊥面BEF，此时M为BB1的中点.

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