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2010年硕士研究生入学考试《数学分析》考试大纲
Ⅰ 考试内容和考试要求
一．函数、极限、连续与一致连续
考试内容：实数的概述，函数的概念，具有某些特殊性质的函数。复合函数、反函数、分段函数的概念。基本初等函数的性质及其图形，初等函数及函数关系的建立。
函数（数列）的定义和性质，极限的四则运算法则，极限存在的条件，两个重要的极限，连续和一致连续的定义，连续函数的运算，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。考试要求：1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
2.理解数集的确界原理，会求一个实数集的上、下确界。
3.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
4.理解复合函数及分段函数的概念，理解反函数的概念。
5.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
6.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左右极限之间的关系，掌握极限的性质及四则运算法则。
7.掌握极限存在的几个准则（单调有界原理，柯西准则，夹逼准则，归结原则），并会利用它们判定极限的存在性，掌握利用两个重要的极限求极限的方法。
8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会应用等价无穷小量求极限。
9.理解函数连续性的概念（含左连续、右连续），会判别函数间断点的类型，理解一致连续性的概念。
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性，最大值和最小值定理，介值定理，一致连续性定理），并会应用这些性质。
二．一元函数的微分学
考试内容：导数的定义及几何意义，导数的四则运算法则，反函数求导法则，复合函数 求导法则，初等函数的导数、隐函数及其由参数方程式表示的函数的导数。函数的微分的 定义及运算，高阶导数及高阶微分。
微分中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凸凹性、拐 点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值、最小值。泰勒中值定理。
考试要求：1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系及可导及连续性的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线与法线法则，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
4.会求分段函数的导数，会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
5.理解并应用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理。
6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。
8.会用导数判断函数图形的凸凹性，会求函数图形的拐点及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数图形。
三．一元函数积分学
考试内容：原函数与不定积分的概念，基本积分公式和性质，换元积分法、分部积分法、有理函数的积分、三角函数有理式的积分，几种无理函数的积分。
定积分的定义及其性质，可积的充要条件，可积函数类，牛顿—莱布尼兹公式、换元积 分法、分部积分法、非正常积分。平面图形的面积，曲线的弧长和曲率，由截面面积求立 体的体积，旋转体的表面积，定积分在物理上的某些应用及定积分的近似计算。
考试要求：1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。
2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。
3.会求有理函数、三角函数、有理式和简单的无理函数积分。
4.了解可积的充要条件，了解可积函数类。理解积分上限函数，会求它的导数，掌握牛顿—莱布尼兹公式。
5.了解反常积分的概念，会计算反常积分。
6.掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积，平行截面面积为已知的立体的体积），会求平
面曲线的曲率，会求函数的平均值，会用定积分表达和计算一些物理量（路程、功、压力、质心、形心等）。
四．关于实数的基本定理和闭区间上连续函数的性质的证明
考试内容：子列、确界与存在定理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛原理，有限覆 盖定理，有限性定理，最大（小）值定理，零点存在定理，反函数的连续性定理，一致连 续性定理，上、下极限的定义。
考试要求：1.掌握子列、确界与存在定理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛原理，有限覆盖定理及其论证过程，会用这些定理解决分析中的一些较简单的理论问题。
2.掌握闭区间上连续函数性质定理的论证过程，了解上、下极限的定义。
五．无穷级数
考试内容：数项级数收敛与和的定义性质、柯西准则、正项级数及其收敛性、一般级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数、莱布尼兹定理、阿贝尔定理、狄利克雷定理、绝对收敛与条件收敛级数的性质。
函数项级数与函数列的收敛和一致收敛的概念，一致收敛的审敛法，一致收敛函数列与级数的性质。幂级数的收敛半径、收敛域、和函数、幂级数的运算、函数展开成幂级数。三角级数和三角函数系的正交性、傅立叶级数、函数的傅立叶级数的展开，收敛性定理，傅立叶级数的和函数。
考试要求：
1.理解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。
2.掌握级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及P-级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判定法和比值判定法。
3.了解绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判定法。
4.了解判定级数敛散性的阿贝尔判别法及狄利克雷判别法。
5.理解函数列与函数项级数的收敛与一致收敛的概念，掌握函数列一致收敛的充要条件，函数项级数一致收敛的充要条件、柯西准则和函数项级数一致收敛的优级数判别法（维尔斯特拉斯判别法）。了解阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。一致收敛的函数项级数（函数列）的和函数（极限函数）的性质。
6.会求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域。了解幂级数在收敛区间内的基本性质（和
函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数。掌握e，xsinx，cosx，(1x)的麦克劳林展开式，会将一些较简单的函数展开成幂级数。
7.了解傅立叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[l,l]上的函数展开为傅立叶级数，会将定义在[0,l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅立叶级数的和函数的表达式。
六．多元函数的极限、连续
考试内容：平面点集的概念，平面点集的基本定理、二元函数的概念，二重极限的二次极限，二元函数的连续性，有界闭区域上连续函数的性质。
考试要求：了解平面点集的概念及几何意义，理解多元函数的概念，会求简单的二重极限与二次极限，了解二元函数的连续性及有界闭区域上连续函数的性质。七．多元函数的微分学
考试内容：偏导数与全微分的概念，高阶偏导数和复合函数的链式规则，由方程所确定的函数的求导法则，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面与法线，方向导数，梯度，泰勒公式。多元函数的极值与条件极值，隐函数的存在定理，函数的线性相关。考试要求：
1.理解多元函数的偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件及充分条件，了解全微分形式的不变性。2.掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法。3.理解方向导数、梯度的概念及计算方法。
4.了解隐函数的存在定理，会求多元隐函数的偏导数。
5.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。6.了解二元函数的二阶泰勒公式。
7.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。八．多元函数的积分学
考试内容：二重积分和三重积分的定义和性质，二重积分的计算，三重积分的计算，重积分的应用，n重积分，含参量正常积分、反常积分、欧拉积分。第一类曲线积分与
第二类曲线积分的定义、性质，两类曲线积分的计算，两类曲线积分的联系。第一类曲面积分与第二类曲面积分的定义、性质，两类曲面积分的计算，两类曲面积分的联系。格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，曲线积分与路径无关，二元函数的全微分求积，场的概念，向量场的散度与旋度，保守场、算子。线面积分应用。考试要求：
1.理解二重积分和三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。
2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。
3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。4.掌握两类曲线积分的计算方法。
5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数的全微分的原函数。
6.理解两类曲面积分的概念，性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。
7.了解散度、旋度和场的概念，并会计算散度、旋度。
8.会用重积分，曲线积分及曲面积分求一些几何量和物理量（平面图形的面积、体积、曲面的面积、质量及流量等）。9.了解含参量的正常积分及欧拉积分。
Ⅱ 考核形式
1.试卷满分为150分，考试时间180分钟。2.答题方式为闭卷、笔试。Ⅲ 考试教材
推荐教材：华东师范大学数学系编，数学分析（第三版）。
高等教育出版社，2001。
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