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江苏省清江中学2017-2018学年第二学期期中考试
高二文科数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位．．．．．．置上． ．．1.设全集U＝{3，4，5，6}，A＝{3，5}，则∁UA＝________________ 【答案】
【解析】分析：
由集合补集的定义求解即可； 详解：
全集U＝{3，4，5，6}，A＝{3，5}，所以∁UA＝
.点睛：本题主要考查了集合的列举法和补集的运算，属于基础题.2.函数【答案】【解析】分析：
只需函数中的分母不为0，根号下的数大于等于0即可.详解： 由函数所以定义域为：故答案为;
.，可得
.，解得
且
.的定义域为___________________
点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
3.若p：(x－3)(x－4)＝0，q：x－3＝0，则p是q的__________________条件(填“充分不必要”,“必要不充分”，“充要”“既不充分也不必要”中一个)
【答案】必要不充分条件 【解析】分析：
利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 详解：
若：(x−3)(x−4)=0，则x=3或x=4，此时x−3=0不一定成立，充分性不成立.若x−3=0，则x=3，此时(x−3)(x−4)=0成立，必要性成立，即p是q必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件.点睛：本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试
.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4.已知函数【答案】 【解析】分析：
结合自变量的范围，对于在分段函数中取值即可.详解： 由所以故答案为：.点睛：本题主要考查分段函数和复合函数的取值，属于基础题.5.命题“【答案】
”的否定是
”的否定是__________________．，可得
..,则
＝___________________ 【解析】全称量词的命题的为特称量词命题：命题“
6.曲线【答案】 在（0，1）处的切线的方程为________.【解析】分析：
求出导数，求得切线的斜率，由直线的斜截式方程即可得到所求切线方程． 详解：的导数为，可得在点(0,1)处的切线斜率为−3，即有在点(0,1)处的切线方程为y=−3x+1.故答案为：.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设．若曲线线定义知，切线方程为7.函数f(x)＝【答案】
．
是曲线在点
上的一点，则以的切点的切线方程为：的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切的单调递减区间为______________．
【解析】分析：根据f（x）的导函数建立不等关系f'（x）＜0，解二次不等式求出单调递减区间即可．
详解：：∵f′（x）=9x﹣6，∴由9x2﹣6＜0可得： ∴x∈（故答案为：）
2点睛：本题以三次函数为载体，考查运用导数知识研究函数的单调性，属于基础题.8.函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于______________ 【答案】 【解析】分析：
由已知f（x）•f（x+2）=13得f（x+4）=f（x），根据周期函数的定义判断出函数的周期，可得f（99）=f（-1），再利用已知条件求出即可． 详解：
由f(x)⋅f(x+2)=13得,f(x+2)f(x+4)=13，即f(x)=f(x+4)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数。所以f(99)=f(25×4−1)=f(−1).由f(−1)⋅f(1)=13,f(1)=2,得f(−1)=，所以f(99)=132，故答案为：.点睛：抽象函数的周期性：（1）若（2）若（3）若（4）若9.设函数【答案】0 【解析】试题分析：因为解得，则，所以，所以
．，令，得，则
函数周期为，则函数
周期为T；，则函数的周期为；，则函数的周期为.的导数为，且，则
__________.考点：导数的运算；函数值的求解． 10.方程【答案】或有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．
有两个不相等的实数根，函数
与
图【解析】试题分析：方程像有两个不同的交点，函数图像如下：
所以的取值范围是或．
考点：函数图像的应用．
11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f(－1)＝－2，则满足f(2x－3)≤2的x的取值范围是_________． 【答案】
.....................点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意层函数的定义域内.12.由命题“值是_____.【答案】1 【解析】分析： “”是假命题，其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有”，根据一元二次不等式解的讨论，可知△=4-4m1，则a=1．
详解： 存在是假命题，”，”是假命题，求得实数的取值范围是，则实数的与的形式，然后根的取值应在外∴其否命题为真命题,即是说“∀x∈R,都有∴△=4−4m
∴m>1,m的取值范围为(1,+∞).则a=1 点睛：（1）原命题为真则，命题的否定为真；
（2）全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.5
【答案】
【解析】解：若刘老师猜对的是①，则： ①张博源研究的是莎士比亚； ②刘雨恒研究的不一定是曹雪芹； ③高家铭研究的是莎士比亚． ①③矛盾，假设错误； 若刘老师猜对的是②，则： ①张博源研究的不是莎士比亚； ②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹； ③高家铭研究的是莎士比亚．
则张博源研究的不是曹雪芹，刘雨恒研究的是雨果，高家铭研究的是莎士比亚． 符合题意；
若刘老师猜对的是③，则： ①张博源研究的不是莎士比亚； ②刘雨恒研究的不一定是曹雪芹； ③高家铭自然不会研究莎士比亚．
据此可知，刘雨恒研究的是莎士比亚，其余两人研究的是谁无法确定，排除这种可能.据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是
.14.已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x的取值范为_______． 【答案】
【解析】试题分析：求函数的导数，判断函数的单调性，求出不等式f（x）＜0的解，即可得到结论．
解：∵f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，∴函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′（x）=1﹣
=，由f′（x）＞0得x＞e﹣1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得0＜x＜e﹣1，此时函数单调递减，在x=e﹣1时，函数取得极小值，∵f（1）=0，f（e）=0，∴不等式f（x）＜0的解为1＜x＜e，则f（e）＜0等价为1＜e＜e，即0＜x＜1，故答案为：（0，1）
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知命题p：“方程（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式【答案】（1）【解析】分析：（1）由二次方程有解可得，从而可得解；，从而可得解.的解集为N，若x∈N是x∈M的充分条件，求a的取值范围． ；（2）
或
有两个不相等的实根”，命题p是真命题。x
x（2）由x∈N是x∈M的充分条件，可得详解：(1)命题：方程，解得M={m|，或
有两个不相等的实根，或}．
．
(2)因为x∈N是x∈M的充分条件，所以N=
综上，或
点睛：根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围．解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
16.（1）g(x)＝3x，h(x)＝9x.解方程h(x)－8g(x)－h(1)＝0；（2）定义：在R上的函数f(x)满足：若任意x1, x2∈R，都有f（2)≤，则称函数f(x)是R上的凹函数。函数f(x)=a x + x(＞0)，求证：f(x)是凹函数.【答案】（1）2；（2）见解析
【解析】分析：（1）由已知条件推导出9﹣8•3﹣9=0，由此能求出原方程的解；（2）运用作差法，化简整理，再由新定义，即可得证.详解：(1)由题有3·3－8·3－9＝0，即(3＋1)(3－9)＝0，解得x＝2.(2)证明：∵f（）=a（22
x
xxxxxx）2+，[f（x1）+f（x2）]=（ax1+x1+ax2+x2），∴=﹣a（）2，）≤0，2
∵a＞0，∴﹣a（即f（）≤[f（x1）+f（x2））
∴函数f（x）是凹函数．
点睛：(1)本题考查含指数的二次方程的解法，属于基础题；
（2）本题以新定义为背景，考查学生的逻辑推理能力及运算化简能力，属于中档题.17.已知函数f(x)＝x3－2ax2－3x(a∈R)，若函数f(x)的图像上点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0（1）求的值；
（2）求点P处的切线方程。
【答案】（1），；（2），解得
；再根据
得，【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得（2）根据点斜式可得点P处的切线方程
试题解析：（1）∵f(x)＝x－2ax－3x，∴f′(x)＝2x－4ax－3，∴过点P(1，m)的切线斜率
322k＝f′(1)＝－1－4a.又点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0，∴－1－4a＝3，∴a＝－1，∴f(x)＝x＋2x－3x.又点P在函数f(x)的图像上，∴m＝f(1)＝－.（2）
3218.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式（1）当声音强度
(满足
为非零常数)给出，其中
为声音能量.满足的等量关系式；
时，求对应的声音能量（2）当人们低声说话，声音能量为声音能量为
时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.【答案】（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）将对应的声音能量I1，I2，I3代入公式D=algI+b，根据满足D1+2D2=3D3建立等量关系，最后根据指数的运算性质可求出所求；
（2）根据声音能量为10W/cm时，声音强度为30分贝，声音能量为10W/cm时，声音强度为40分贝，建立关于a，b的方程组，解之即可求出公式D=algI+b的解析式，最后根据一般人在100分贝～120分贝的空间内建立不等式，解之即可． 详解：（1），（2）由题意得
答：当声音能量
.解得：，时，人会暂时性失聪.点睛：该题属于应用函数去解决实际问题，体现了数学来源于生活且服务于生活，在做题的过程中，找准关键点，从而得知往哪个方向思考，本题的关键是利用题中的解析式建立关系.19.已知函数（1）若值；
（2）是否存在实数对②？
满足条件
同时满足条件：①
取最大值时的值与
取最小值的值相同，是常数，问当，满足什么条件时，函数
有最大值，并求出
取最大值时的【答案】（1）见解析；（2）存在实数对【解析】分析：
（1）由题意函数F（x）有最大值，应满足m、x的取值；，即二次函数有最大值，解得k、（2）由函数F（x）有最大值，G（x）有最小值；得m、k的值，求出满足条件的实数对（m，k）.详解：（1）当时，解得
且；
当时有最大值.（2）函数，当时，时有最大值.函数，时有最小值.由所以当时，得，其中为负整数，或者，满足条件.所以存在实数对点睛：本题主要考查了二次函数的最值，当二次函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值，当次函数图象开口向下时，在对称轴处取得最大值.20.已知定义域为R 的函数f(x)有一个零点为1，f(x)的导函数，其中
．
（1）求函数f(x)的解析式；（2）求（3）若的单调区间； 在上存在最大值和最小值，求的取值范围． ；（2）
或
【答案】（1）【解析】分析：（1）由导函数可设（2）由，结合条件可得；，讨论，和
导数的正负，从而得函数的单调性；
（3）结合（2）中函数的单调性，考虑极值点和端点处的函数值讨论最值即可.详解：
(1)因为f(x)的导函数，所以，上单调递减，在上单调递增 单调递减区间，单调递减区间
又函数f(x)有一个零点为1，所以（2）由（1）知：①②③时时时在的单调递增区间的单调递增区间（3）①由（2）②则当当则③则则综上： 时不符合题意 上递减，在上递增，,上递增，在且
时
上递减
故
时在时，解得时在解得或.点睛：（1）利用导数求函数的最值时要注意函数单调性的运用，由单调性得到函数的极值，然后再求最值．对于含有参数的问题，要结合条件对参数进行分类讨论，分类时要做到合理、不重不漏．
（2）对于已知函数的最值求参数或其范围的问题，在解题仍要注意单调性的应用，结合函数的单调性进行求解、判断．
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