不等式(一)考点梳理_不等式考点归纳总结

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不等式

（一）--考点梳理

1.不等式的性质

（1）基本性质

实数大小比较的原理与实数乘法的符号法则是不等式性质的依据。在不等式性质中，最基本的是：

①a>bbb,b>ca>c（传递性）

③a>ba+c>b+c（数加）

ab,c0acbc④(数乘)（a>b,c=0a·c=b·c）ab,c0acbc

（2）基本性质的推论

由基本性质可得出如下推论：

推论1：a>b>0,c>d>0ac>bd推论2：a>b>0,c>d>0

推论3：a>b>0an>bn(n∈N)推论4：a>b>0

3.不等式的证明

（1）基本不等式

定理1：如果a,b∈{x|x是正实数}，那么ab

2nadnbc ab(n∈N)≥ab（当且仅当a=b时取“=”号）

≥3abc(当且仅当a=b=c时取“=”号)定理2：如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么abc

3定理3：如果a、b∈{x|x是正实数}，那么

2a

1b≤ab≤ab2≤ab222（当且仅当a=b时取“=”号）

推论4：如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么

3a1

b1

c≤abc≤abc3≤abc3222（当且仅当a=b=c时取“=”号）

由上述公式还可衍生出一些公式

①4ab≤(a+b)2≤2(a2+b2),a、b∈R（当且仅当a=b时等号成立）

②a2+b2+c2≥ab+bc+ca,a,b,c∈R（当且仅当a=b=c时等号成立）

③a+b+c≥

④|ba22213(a+b+c)≥ab+bc+ca,a,b,c∈R（当且仅当a=b=c时等号成立）2+a

b|≥2（当且仅当|a|=|b|时取“=”号）

4⑤a>0,b>0,a+b=1，则ab≤等。

（4）不等式证明的三种基本方法

①比较法：作差比较，根据a－b>0a>b，欲证a>b只需证a－b>0；作商比较，当b>0时，a>ba

b>1。

比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幂、方根等）。

②分析法：从求证的不等式出发寻找使该不等式成立的充分条件。对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径。

③综合法：从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。

4.不等式的解法

（1）一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）

解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

（2）高次不等式

解高次不等式常用“数轴标根法”。一般地，设多项式

F(x)=a(x－a1)(x－a2)„(x－an)（a≠0）

它的n个实根的大小顺序为a1

(－∞,a1)，（a1,a2），„，(an－1,an),(an,+∞)

自右至左给这些区间编上顺序号，则当a>0时有：

①在奇数区间内，F(x)>0。②在偶数区间内，F(x)

（4）分式不等式

分式不等式的等价变形：

f(x)g(x)0>0f(x)·g(x)>0≥0 g(x)0g(x)g(x)f(x)f(x)

（5）无理不等式

两类常见的无理不等式等价变形：

f(x)0f(x)0或f(x)≥g(x)g(x)0g(x)02f(x)g(x)f(x)0 f(x)

（6）指数不等式与对数不等式

①当0ag(x)f(x)

②当a>1时a(fx)>ag(x)f(x)>g(x)logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)>0

（7）含参数不等式

对于解含参数不等式，要充分利用不等式的性质。对参数的讨论，要不“重复”不“遗漏”。

5.含有绝对值的不等式

（1）两个基本定理

定理1：||a|－|b||≤|a+b|≤|a|+|b|（a、b∈R）

定理2：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|+|b|（a、b∈R）

应理解其含义，掌握证明思路以及“=”号成立的条件。

（3）解绝对值不等式的常用方法

①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式。

②等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形

|x|0)|x|>ax2>a2x>a或x0)

一般地有：

|f(x)|g(x)f(x)>g(x)或f(x)

四、思想方法

1.不等式中常见的基本思想方法

（1）等价转化。具体地说，就是无理化为有理，分式化为整式，高次化为低次，绝对值化为非绝对值，指数、对数化为代数式等。

（2）分类讨论。分类讨论的目的是处理解决问题过程中遇到的障碍，在无障碍时不要提前进行分类讨论。

（3）数形结合。有些不等式的解决可化为两个函数图像间的位置关系的讨论等几何问题。

（4）函数方程思想。解不等式可化为解方程或求函数图像与x轴交点的问题，根据题意判断所求解的区间。

如“标根法”实际上就是一种函数方程思想。

2.证明不等式的常用方法

除了课本上介绍的证明不等式的三种基本方法外，还有如下常用方法：

（1）放缩法

若证明“A≥B”，我们先证明“A≥C”，然后再证明“C≥B”，则“A≥B”。

（2）反证法

反证法是通过否定结论导致矛盾，从而肯定原结论的一种方法。

（3）数学归纳法

证明与自然数n有关的不等式时，常用数学归纳法。此法高考中已多次考查。

（4）变量代换法

变量代换是数学中的一种常用的解题方法，对于一些结构比较复杂，变化较多而关系不太清楚的不等式，可适当地引进一些新的变量进行代换，以简化其结构。其代换技巧有局部代换、整体代换、三角代换、增量代换等。

（5）函数方法

通过利用函数的性质，如单调性、凹凸性、有界性、实根存在的条件等证明不等式的方法称为函数方法。

（6）构造方法

不等式证明中的构造方法，主要是指通过引进合适的恒等式、数列、函数、图形及变量等辅助手段，促使命题转化，从而使不等式得证。此法技巧要求较高，高考试题中很少见。

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