《届数学一轮高考核动力》(新课标)高考数学(文)一轮强化突破训练(54)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“高考数学难题突破训练”。
一、选择题
1．给出以下命题：①∀x∈R，有x>x；②∃α∈R，使得sin 3α＝3sin α；③∃a∈R，对∀x∈R使x＋2x＋a
A．0
C．2
【答案】B
【解析】①中当x＝0时，x＝x，故为假命题；
②中当α＝kπ(k∈Z)时，sin 3α＝3sin α成立；
③中由于抛物线开口向上，一定存在x∈R，使x＋2x＋a≥0，显然为假命题．
故选择B.2．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()
A．(綈p)∨q
C．(綈p)∧(綈q)
【答案】D
【解析】不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈B．p∧q422B．1D．3 422 D．(綈p)∨(綈q)q)为真命题．
故选择D.3．设p：x1，q：x1，则綈p是綈q的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】q⇒p⇔綈p⇒綈q；反之p q⇔綈q 綈p.故选择A.4．a
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】一方面，由a0，此时方程有两
12个不等实根，且两个实根的积等于，方程恰有一正、一负的实根，可知方程ax＋2x＋122a
＝0至少有一个负数根；另一方面，由方程ax＋2x＋1＝0至少有一个负数根不能推知a
故选择B.5．(2009高考海南卷·理)有四个关于三角函数的命题：
2222
xx1p1：∃x∈R，sin2＋cos2＝ 222
p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y
p3：∀x∈[0，π]，1－cos 2x＝sin x 2
π
2p4：sin x＝cos y⇒x＋y＝其中的假命题是()
A．p1，p4
C．p1，p3
【答案】A
【解析】p1应该是∀x∈R，sincos＝1； 222B．p2，p4 D．p2，p3 x2x
p2当y＝0时结论成立；
p31－cos 2x＝|sin x|，由于x∈[0，π]，所以结论恒成立； 2
π
2p4显然，x＋y2kπ，k∈Z时成立．
所以p1，p4错误．
故选择A.二、填空题
6．p是q的充分条件，则綈p是綈q的条件．
【答案】必要
【解析】根据充分条件与必要条件与四种命题之间的关系．
p⇒q的逆否命题应为綈q⇒綈p，所以綈p是綈q的必要条件．
7．命题p：正方形ABCD是菱形，命题q：正方形ABCD是圆外切四边形，则命题“p∨q”，命题“p∧q”，命题“綈q”中，真命题是，假命题是.【答案】p∨q，p∧q；綈p
【解析】因为p是真命题，q也是真命题，由真值表可知p∨q，p∧q是真命题，綈p是假命题． 8．(2010福建卷)已知定义域为(0，＋∞)的函数f(x)满足：
(1)对任意x∈(0，＋∞)，恒有f(2x)＝2f(x)成立；
(2)当x∈(1,2]时，f(x)＝2－x，给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f(2)＝0；
②函数f(x)的值域为[0，＋∞)；
③存在n∈Z，使得f(2＋1)＝9；
＋1mn k,k④“函数f(x)在区间(a，b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得(a，b)⊆(22)”．
其中所有正确结论的序号是.【答案】①②④
【解析】∵当x∈(1,2]时f(x)＝2－x，∴当x∈(2,4]时，1
∴f(x)＝2f＝4－x； 2
当x∈(4,8]时，1
当x∈(22n,n＋1xxxxxxxx]，n∈N时，1
因此，可判断①②④都是正确的．
nxxxn＋1－x.对于③，假设∃n∈Z，使得f(2＋1)＝9，12＋111∵f＝f1＝2－1＋＝1n，2222n
2＋1n1n∴f(2＋1)＝2f＝21－＝2－1，22nnn
∴2－1＝9,2＝10，∴n∉Z，这与n∈Z相矛盾，故假设不成立．因此结论③不正确．
三、解答题
9．分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”，“綈p”形式的复合命题．
(1)p：2是6的约数，q：2是8的约数；
(2)p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分．
【解析】(1)“p∨q”：2是6的约数或2是8的约数．
“p∧q”：2是6的约数且是8的约数
“綈p”：2不是6的约数
(2)“p∨q”：菱形的对角线互相垂直或互相平分
“p∧q”：菱形的对角线互相垂直且互相平分
“綈p”：菱形的两条对角线不互相垂直
10．判断下列存在性命题的真假：
(1)∃x∈R，x≤0；
(2)至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；
(3)∃x∈{x|x是无理数}，x是无理数；
(4)∃x∈Q，x＝5.【解析】(1)由于x＝0时，x≤0成立．所以，存在性命题“∃x∈R，x≤0”是真命题．
(2)由于整数1既不是合数，也不是素数．所以，存在性命题“至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数”是真命题．
(3)由于π是无理数，π仍是无理数．所以，存在性命题“∃x∈{x|x是无理数}，x是无理数”是真命题．
(4)由于使x＝55，而±5不是有理数，因此不存在有理数x，使得22222nn
x2＝5成立．所以，存在性命题“∃x∈Q，x2＝5”是假命题．
11．写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的命题，并判断其真假：
(1)p：1是质数，q：1是方程x＋2x－3＝0的根；
(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相垂直；
(3)p：N⊆Z，q：0∈N.【解析】(1)因为p假q真，所以 2
p∨q：1是质数或是方程x2＋2x－3＝0的根，为真；
p∧q：1是质数且是方x2＋2x－3＝0的根，为假；
綈p：1不是质数，为真．
(2)因为p假q假，所以
p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直，为假；
綈p：平行四边形的对角线不一定相等，为真．
(3)因为p真q真，所以p∧q：平行四边形的对角线相等且互相垂直，为假；
p∨q：N⊆Z或0∈N，为真；
p∧q：N⊆Z且0∈N，为真；
綈p：NZ，为假．
12．(2010北京卷·文)已知集合Sn＝{X|X＝(x1，x2，„，xn)，xi∈{0,1}，i＝1,2，„，n}(n≥2)．对于A＝(a1，a2，„，an)，B＝(b1，b2，„，bn)∈Sn，定义A与B的差为
A－B＝(|a1－b1|，|a2－b2|，„，|an－bn|)．
n
A与B之间的距离为d(A，B)＝|ai－bi|.i＝1
(1)当n＝5时，设A＝(0,1,0,0,1)，B＝(1,1,1,0,0)，求A－B，d(A，B)；
(2)证明：∀A，B，C∈Sn，有A－B∈Sn，且d(A－C，B－C)＝d(A，B)．
(3)证明：∀A，B，C∈Sn，d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三个数中至少有一个是偶数．
【解析】(1)A－B＝(|0－1|，|1－1|，|0－1|，|0－0|，|1－0|)＝(1,0,1,0,1)． d(A，B)＝|0－1|＋|1－1|＋|0－1|＋|0－0|＋|1－0|＝3.(2)设A＝(a1，a2，„，an)，B＝(b1，b2，„，bn)，C＝(c1，c2，„，cn)∈Sn.因为ai，bi∈{0,1}，所以|ai－bi|∈{0,1}(i＝1,2，„，n)．
从而A－B＝(|a1－b1|，|a2－b2|，„，|an－bn|)∈Sn.n
又d(A－C，B－C)＝||ai－ci|－|bi－ci||.i＝1
由题意知ai，bi，ci∈{0,1}(i＝1,2，„，n)．
当ci＝0时，||ai－ci|－|bi－ci||＝|ai－bi|，当ci＝1时，||ai－ci|－|bi－ci||＝|(1－ai)－(1－bi)|
＝|ai－bi|.n
所以d(A－C，B－C)＝|ai－bi|＝d(A，B)．
i＝1
(3)设A＝(a1，a2，„，an)，B＝(b1，b2，„，bn)，C＝(c1，c2，„，cn)∈Sn，d(A，B)＝k，d(A，C)＝l，d(B，C)＝h.记O＝(0,0，„，0)∈Sn，由(2)可知
d(A，B)＝d(A－A，B－A)＝d(O，B－A)＝k，d(A，C)＝d(A－A，C－A)＝d(O，C－A)＝l，d(B，C)＝d(B－A，C－A)＝h.所以|bi－ai|(i＝1,2，„，n)中1的个数为k，|ci－ai|(i＝1,2，„，n)中1的个数为l.设t是使|bi－ai|＝|ci－ai|＝1成立的i的个数，则h＝l＋k－2t.由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，即d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三个数中至少有一个是偶数．
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