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华罗庚难题的多种答案
和分角定理
作者:高春阳
一 “不可能”一词的作用是反面指导
二十世纪五十年代，华罗庚教授提出:用圆规直尺三
等分任意角和步行上月球一样是不可能的。
就因为三分角难题是由华罗庚提出来的，中国人把它
叫做“华罗庚难题”或“华庚数学发展计划”都是无可非
议的。但却有人造谣说“华罗庚否定了三分角”，并以此
为由对三分角答案不鉴定对和错，就给予“毁稿”或“退
稿”。这股子反科学势力不可等闲视之。
否定论不能成立的理由如下：
第一 所有的否定词都和“×”号一样，只能用来否定
错误，不能用来否定正确。这是因为否定错误是指导改正 的意思，这是反面指导。和肯定正确从正面指导的作用是
一致的，所以同样是科学。如果用来否定正确，这就和肯
定正确明显的截然相反了，所以是反科学。如果自己不知
道否定词的用法，就是自己糊涂，没知觉。华罗庚明明是
聪明绝顶的数学家导师，怎么会成了糊涂透顶对正确答案
也要否定的反科学者呢？大脑还没失灵的人们不觉得可疑
吗？
第二 三分角答案是近几年交上来的，毁稿退稿事件只
能是现代人干的.硬说华罗庚五十年前否定了它，这和现
代人被杀硬说凶手是两千年前的秦始皇岂不一样荒唐么!
仅凭否定和提出这两事之间的年代差距就足已说明华罗
庚不可能是正确答案的否定者。
第三 难题中明显地摆着“一样”两字。请问否定论者：
“你说宇宙飞船上月球的事實也一样地被华罗庚否定了呢？
还是上月球的事实推翻了华罗庚的先知预断呢？也许你已
经觉察到这两种说法都像是自己在诬陷华罗庚不够教授导
师资格。所以又改为第三种说法：只否定了三分角（没否
定上月球）。哪知这最后的说法恰好又是自己推翻了原题
中的“一样”。就因为否定论的三种说法都像是仇敌故意
和华罗庚势不两立。找不出半点一致的见解来。所以否定
论不成立。
第四 如果不想让人研究解答，最好的办法是不提，不让人想到此事。既然问题被提出并引起了讨论研究热潮，再加上一百个否定词也没法杜绝个别爱好者的研究兴趣。
这就是说，提出的目的绝对不是否定。如果提出的目的是
为了否定，这不正好是“此地无银三百两”的笑话中被讥
笑的两个写字条者么！
表面看来，先提出难题然后再否定，和先埋下银子然
后再否认有银的形式是一样的，但本质并不一样。埋银者
否认有银，是为了隐瞒埋银。无银字条恰好暴露了有银的
事实。这种自相矛盾弄巧反拙当然是笑料。华罗庚提出难
题的目的，是希望有人研究它，他的否定恰好达到了自己 的目的。这不仅没有可笑之处，反而值得颂扬.答题者探
索到答案和王二挖到银一样并不是因为自己聪明.而是因
为自己爱好猜想和实验。也有人放弃了答题，并不是自己
不聪明，而是因为自己不爱猜想和实验。至于有人认为是
不准研究，那是由于他只爱猜想不爱实验，反而把自己的
猜想硬加到华罗庚身上造成的。就因为这种“以己度人“ 的错误世界观，才使指导研究的导师蒙受了“阻碍研究” 的不白之冤。这正好是为了隐瞒挖银而否定埋银的反事实
者。
由此可见，否定者和提出者是仇敌关系。若不明白就
是自己没知觉
第五 难题中明摆着“用圆规直尺”和“步行”等字。
如果没这些字，还有点像是否定“三分角”和“上月球”
这些目的。没有了奋斗目的,当然就得停止探索停止前进。
这就是消灭了科学。但事实上偏偏有这些字。这就不再是
否定目的，而变成了否定方法。只要保留着目的，方法被
否定了还可以改换另外一种方法，继续探索前进。这种在
没路可走没法前进的情况下自我改变想法创造新路的思想
就是科学；不肯自变停止探索放弃前进的就是不科学；不
仅不肯自变而且又阻止或反对他人自变的，就是反科学。
现实中的否定论者没发现错误就给予否定，能说不是反科
学么//？
第六 专讲占卜先知用来指导生存革命的古书《易经》
提出：“穷（不通）则变，变则通，通则久”。这是《易
经》一书的中心思想。全句的意思是：如果自己行不通想
不通，就应当改变自己的想法(知觉认识）做法（行为计
划），重新实验。经过反复多次的自验自改、自改自验，总会有找到自己行得通、想得通的时刻。这时自己思想中 的知觉概念认识，就是能够长期用来指导自己生存革命的
真知（觉）、真理（解）。现代毛泽东的《实践论》一书
中介绍的“穷则思变”和“实践检验”原理,正是七千年(大
约公元前五千年)前,伏羲氏“观天察地”研究客观实际时
代传承下来的，依靠“实践自验”就能产生自知之明（破
了无知迷信）和先见之明（先知先觉、指导思想）的“穷
则思变”方法。这说明“穷则思变”就是人世间“最古老
而又最先进的”科学思想。
第七 《易经》又提出：“顺天命则昌，逆天命则亡。
”这就是对生存革命的总体指导原则。其中顺字，即顺应，切合。逆字，即违背，不切合。天字，即自然。命字，即
必然规律，生旺衰灭的波浪式规律，包括因果必然·条件
必然·步骤次序必然。用马克思主义的术语来解释就是：
主观的办事方法计划切合了客观的事物变化规律，就一定
能取得成功、取得昌盛；违背了客观规律，就一定遭到失
败、遭到灭亡。科学两字的字义，就是为生存革命服务的
分科专业学术。几何作图的每一步骤都注明是根据那条定
理定律做的，这正是接受指导的结果。《实践论》中讲到 的：切合实际为正确；不切实际为错误。这一实践标准，正好和《易经》占卜术的指导相一致。其中正确、成功、昌盛，是从正面指导；错误、失败、灭亡，就是对不切实
际者的否定，就是从反面指导。否定错的和肯定对的同样
有利于生存革命，所以同样是指导。但是否定论者不分青
红皂白对正确的东西也要一起否定，这就消灭了生存和革
命，所以否定论是和科学势不两立的反科学。
比如 在国家大家庭中，领导人讲政策法令，就是正
面指导。法官对杀人犯判死刑，就是反面指导。两者的作
用同样是，指导属民自己把自己控制在利己不害人的道德
范围之内，正好形成了正常的生存革命秩序。如果按否定
论绝对化的观点，就得把全国人不分青红皂白一律判死刑，这不仅消灭了自强自旺的正常革命行为，而且连生命存活
都消灭了。所以自己是反科学的误解。再如，在个体小家
庭中，大人教育幼儿的时候常说：“不准随地大小便”。
这就是反面指导。若按绝对化了的否定论，把“随地”去
掉，误解为“不准大小便”。同样是不准人们正常生活。
所以否定论不能冒充科学。例3“此路不通”之所以常常
被用做指路标，是因为“此路不通他路通，此法不可能他
法有可能”这是常理，他有指导行人另找新路另想新法的
意思。同理，华罗庚在用“规尺”和“步行”的思路上插
了“不可能”通的路标，正是从反面指导后人“另找通路
或者另加条件”的意思。
第八 《易经》又说“仁者见之谓之仁，智者见之谓
之智”。含意是对同一事物，由于人们各自的世界观与他
人不同，也就产生了不同观点。现实中同样是对待华罗庚 的难题,有人说指导了研究；有人说否定了研究，正是由世
界观不同造成的。乍看起来，似乎双方都是以己度人，但
是揣度得是否和被揣度者一致，就得靠自知知觉来决定了。
实践自验就是破除迷信产生自知知觉的唯一方法。
第九 宇宙飞船登月的成功，确实不是只靠的步行；
三分角答案的成功，也确实不是只靠的规尺。两者一样地
证明了华罗庚的预言占断指导是正确的。
总而言之，不管从理论还是从实践，两个方面都充分
证实了，华罗庚难题中的“不可能”一词，并没否定三分
角的研究，而是从反面指导了研究。它对难题的提示指导
是：要多动脑想新法和多动手实验（不要只靠规尺）。因
为人有两件宝，双手和大脑。这和毛泽东强调“思想第一” 的辩证唯物论的思想指导正好一致。
二 难题答案的磨难经历
早在1978年，笔者就探索出第一种作图方法。答案多
次寄出，总是石沉大海渺无音信。后来访问了几个大学生
才知道，据说是因为“华罗庚否定了三分角”，各家报刊
杂志一律不受理三分角稿件。大概是投进废纸篓了，没人
管你对和错。因为没人敢推翻华罗庚的意见。
这股子强大阻力逼得笔者走投无路。不仅没有躺倒不
起，反而激起了越难越钻的研究兴趣。直到1998年的二十
年间，竟然探索出十八种不同的答案。其中专用工具法一
种，内外角关系法九种，直角尺法两种，商除法一种，平
行线法一种，解析几何法两种，三角函数公式法两种。也
许还有另外的作法，但笔者结束了探索。是因为意外地求
得一个分角公式，也可以叫“分角定理”。对已知角的任
意等份都可以随手分成，应该结束了。
在华罗庚提出难题的短时期内，就掀起了全国各大中
学校普遍参与的研究热潮。这当然是一项极大地人才浪费。
华罗庚赶紧说：不要钻牛犄角尖了，再钻也是枉费心机。
从“牛角尖”和“枉费心机”看，明显地是指否定了那些，只拿着规尺不划图的和想用量角器或钟表盘的，等等错误
行为。但是，那些科学概念不够稳固的学生逐渐倾向了否
定论的一边，自愿放弃了研究，从而使热潮消退了。只剩
下极少数不攻克难题就吃不好饭睡不好觉的兴趣特浓者，不声不响的私下持续研究了。由此看来，以否定代替肯定
从反面进行指导的办法，正是华罗庚为了既要选拔到爱钻 难题者又不会造成人才浪费，并且还能够使世界观不同的
两类人自行分开而特意设计的巧妙考题。这说明华罗庚的
被人误解是他在提出难题之前就自知自愿的。所以他一定
不想追究否定论者造成的名誉损失责任，只要能认识到自
己的错误就行了。
华罗庚明知道自己一定会被人误解却偏要这么做，可
说明两点:,一是说明华罗庚为发展数学不计较个人名利得
失的好思想是真实的。另一点是他深知自己的反面指导一
定能选拔到攻克难题者，也一定会有明白自己内心世界的
知心朋友替自己做好鉴定验收工作。误解只是暂時的，只
要鉴定一出，报刊上出现了《华罗庚难题破解成功》的新闻
消息，否定论自然就会舌硬声噎了。
知心朋友一定和华罗庚一样在没见到正确答案之前，不能道破天机。因此笔者不知道他是谁，也不知道他在哪
里，没法取得联系。被拍无奈，只好在十八种方法中先拿
出两种发表在网上，让广大网友共同看一看，答案中的三
分之一角是不是真正的三分之一。希望广大网友多提意见，畅所欲言。能代替华罗庚做鉴定的知心朋友自然就容易出
现其中了。
欢迎网友多多批评，各抒己见
笔者
2012年12月
三 难题的解答对象
任意角包括直角、钝角、锐角，通常写作看k·
π2+α
或者 k·90°+α。其中k 是整数。α 是0°到90°之
间的弧长
当α=0时，若k=1 则表示直角。
若k>1 则表示多个直角。
当α≠0时，若k≠0 则表示钝角。
若k＝0 则表示锐角。
所以，k`·π2+α或 k·90°+α可以表示任意角。
由此可知任意角的三分之一就是： 是 k·π6+α3 或
k··30°+
α3
30（即π6）角的作图方法,
只有α3角的做图方法，《平面几何>中没讲；《三
角学》中没讲；《解析几何》中也没讲。因此，“三等分
角”就成了举世闻名的数学难题。这就是华罗庚难题所
要解答的对象。
用数学语言的形式表达出来，就是：
已知:∠AOB 是小于90°的角，求做：13∠AOB
提示：要多动脑想新法（不要只靠园规直尺）。
四 难题的多种答案
*
第一法 专用工具法
专用工具，顾名思义，就是专门为三等分任意角而设置的工具。有了它就可以轻 而易举地做出已知角的三分之一。另外，也可以用它来检验已经做成的三分之一角 是否正确。因此，该工具取名叫做“三分角器”。
三分角器的制作简便，人人可做，因此可以自制。
（一）三分角器的制做设计原理
三分角器是由两条等长的短尺和两条带滑槽的长尺，并由两个固定轴和两个滑动轴连接 为一体而成的。详情可参看图1
图中MN和AP分别是带滑槽的长尺。OB和OC分别是短尺。
AB=OB=OC
B和O两点是固定转轴。A和C两点是滑动转轴。
A可沿着MN尺上的滑槽滑动。C可沿着AP尺上的滑槽滑动。
（二）三分角器的使用方法
一手捏者A轴，另一手捏着C轴，轻微用力推拉。三分角器上的各角就随着变动起 来。当∠CON的大小正好等于已知角时，∠BAO就是已知角的（三）证明
在△BAO中
因为AB=OB
所以△BAO是等腰三角形。
因为 等腰三角形的两底角相等，所以∠BAO=∠BOA
设∠BAO=α
因为三角形的外角等于和它不相邻的两内角之和，所以 ∠CBO=∠BAO+∠BOA
=α+α=2α
同理，因为OC=OB
∠BCO=∠CBO=2α
∠CON是△CAO的外角
13.所以，∠CON=∠BAO+∠BCO
=α+2α ``
=3α 也就是 ∠CON=3∠BAO 两边同时除以3
即得
13∠CON=∠BAO
三分之一角得证
第十五法 解析几何法
（一）利用三分角曲线做图
《一》 定义：一个动点，它到某一定点的距离，正好是它到某一定直线距离的 2倍。这个动点的轨迹就叫做“三分角曲线”。
在《解析几何》中曾讲过“抛物线”，其定义是：一个动点，它到某一定点的 距离，正好和它到某一定直线的距离相等。这个动点的轨迹就叫做抛物线。
我们把这两条曲线放在一块做比较，可以明显地看出：抛物线上两个距离是相等 的，是1：1的关系；三分角曲线上两个距离是不等的，是2:1的关系。由此看来，三分角曲线不是前人讲过的东西，而是新发现。
三分角曲线是否真的存在呢？需要证明。
《二 》 分析：请看图15.拿起直尺，划出横线MN。放下直尺，再拿起圆规，在直线MN上任意选一点O为园 心，任意长为半经画园弧交MN于A。
再调整圆规间距，以A为起点截取三段圆弧。以三段圆弧的总长小于
，第三段为CD。，第二段为BC为准。第一段为ABπ2（90°）
用直尺连接DB。再用圆规和直尺做BH⊥ON,，H为垂足。做DE⊥ON,，E为垂足。
,CD是用同一园规间距量截的，,同一间距就是等长的弦。,BC
因为AB
弦长相等所对的弧长和圆心角也相等。
所以
AB=BC=CD
∠AOB =∠BOC =∠COD
∠DOB=2∠AOB 或者
∠AOB=
由《三角学》知识可知：
12∠DOB
BH即是B点到MN的距离，也是∠AOB的正弦Sin α.DB即是B点到D点的距离，也是两个α角的两个正弦，故写做2Sin α.由此可见，B点到D点的距离,正好是它到直线MN的距离的2倍。
因为 3α角是0°到90°之间的任意角，它就有也许变大也许变小的可能。又因为此法 是以3α角的正弦为标准来求得半径长度，从而来确定角大小的，所以，也就出现了B点到DE之间距离可大可小的变化性质。
当 3α达到π2时（90°），,B点到DE的距离最大，半径最小。
当 3α从大变小时，由于弓弦和弓背之间的距离（即正矢）缩短，DE和BH都会向 着接近A的切线靠近。仅仅是速度快慢不同。
当 3α小到0°时，DE追及了BH，和过A点的切线合成了同一条直线，也就是B点在DE上。
就因为BH和DE的间距是大小可变的，才可以把B点看做动点，点动成线当然就会 出现轨迹。
所以
三分角曲线是确实存在的。
《三》三分角曲线的画法和用法
图16中∠AOB是已知角，AB弧是已知角所对的圆弧。
求做：13∠AOB
做法：
（1）在A点钉上一个小园钉
在木质直角尺的近直角顶点处也 钉上一个小圆钉。把长木尺或直 木条放在OB线下，让直角尺上的 钉子正好对准OB直线，使木尺与 OB平行，两端钉牢。
（2）找两根伸缩率极低的软线。
每根线的一端各自双成圆扣，结节。再把线的圆扣端拉成等长，在另一端适当处打 结。
（3）把一根软线的端扣套在A点的园钉子上，然后再绕过铅笔；把另一根软 线的端扣套在铅笔上，然后绕过直角尺上的园钉子再折回来，绕过铅笔。这样铅笔 到直线OB的距离正好是它到A点距离的二分之一。
（4）自己一手握住铅笔，另一手拉紧软线；让助手手握直角尺，随着铅笔沿着 OB方向慢慢滑动。自己牵动软线，使两个距离缩短或增长，铅笔保持贴紧直角尺，画出的曲线就是三分角曲线。
以角的顶点A为圆心，以OA为半径画圆弧交分角曲线于C点
连接OC。
∠BOC就是已知角的三分之一。
《四》证明：
连接OC。做CH⊥OB，H为垂足。
△COH即是直角三角形
连接AC,找出AC的中点D，连接OD。
因为 OA和OC都是同一半径
所以 △AOC是等腰三角形。
因为 OD是等腰三角形底边的中点连线 所以 OD是△AOC底边AC的垂直平分线
因此 △AOC可分为△AOD和△DOC两个相等的直角三角形。也就是 △DOC≡△AOD
因为 直角边CH是AC的，也就是 CH=CD,.OC是公共边，所以 △COH≡△COD也全等于△AOD
因为 全等三角形的对应角相等，所以∠COB=∠DOC=∠AOD，且三个角之和正好等于已知的∠AOB
所以 ∠AOB=3∠COB。
也就是∠COB=***∠AOB
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