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最坏的打算才能保证——谈抽屉问题的万能钥匙
“抽屉原理”又称“狄里克雷原理”，最先由19世纪的德国数学家狄里克雷（Dirichlet）发现的。“抽屉原理”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。例如要把三个苹果放进两个抽屉，至少有一个抽屉里有两个苹果。但“抽屉原理”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。因此，“抽屉原理”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。
人教版数学将“抽屉原理”安排在第十二册的数学广角里。课本用直观的方式介绍抽屉原理中两种形式：①把n+1个物体放进n个抽屉，那么一定有一个抽屉放进了至少2个物体（n是非0自然数）②把多于kn个物体放进n个抽屉，那么一定有一个抽屉放进了至少k+1个物体。
抽屉原理研究的是物体数最多的一个抽屉里最少会有几个物体，只研究它存在这样一个现象，不需要指出具体是哪一个抽屉，在哪里，是多少。而学生会受思维定势的影响，引起一些歧异，主要是对“总有一个抽屉里放入的物体数至少是多少” 的理解，学生往往会去设想那个“抽屉”，放了多少个物体，而没有去抽象“至少”，保证在最坏情况下的最低数量。为此我第一课时尽量采用例举法经历数学，第二课时采用假设法思考，从而帮助学生找到了“抽屉问题”的万能钥匙——从“最坏的可能”考虑。
第一课尽量让学生经历“数学证明”的过程。如课本p70的例1，借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。4枝铅笔放进3个文具盒，例举出四种可能：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，1，1）、（2，2，0），并向学生说明三个盒子没有先后名称之分，只有放铅笔枝数多少之别。观察四种放法，每种方法中都有一个盒子里有2枝及2枝以上的铅笔，我们说“4枝铅笔放进3个文具盒，至少有一个文具盒内有2枝铅笔”。随后让学生仿照例题完成p70的做一做，“7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞回同一个鸽舍里”学生在具体研究时，会列出很多具体的情况：（7，0，0，0，0）、（6，1，0，0，0）、（5，2，0，0，0）、（5，1，1，0，0）、（4，3，0，0，0）、（4，2，1，0，0）、（4，1，1，1，0）、（3，3，1，0，0）、（3，1，1，1，1）、（2，2，1，1，1）。但不管怎样，总有2只或2只以上的鸽子飞进了同一个鸽舍，所以鸽子数多于鸽舍的时候，就至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍，而不研究哪个鸽舍终究有几只鸽子，只“保证”某一个鸽舍有2只鸽子就行。学了以后，学生可能是懂非懂，需要寻找身边的事例来巩固。如41块1元硬币分给全班40个学生，能得出“至少有一人分到2元钱”的结论吗？42元、43元、50元呢，得出的结论还是一样的。我们还是不研究哪些人得到多少元，得出一个最基本的“保证数”就行。学生们还举了好多例子，椅子问题、袋子问题、糖果问题„„如任意13人中，至少有两人的出生月份相同；任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。
例1的教学就到此为止，得出结论“把n+1个物体放进n个盒子（袋子），那么一定有一个盒子至少放进了2个物体”。
例2：“5本书放进2个抽屉里，至少有一个抽屉放进了3本书”，先假设每个抽屉放进2本书，共4本，还剩一本书，不管放进哪个抽屉，就变成了三本。如果有7本、9本呢，会是什么结果？引导学生分析，这类问题是得出“至少”，保证有这个数量，所以思考时，应尽量采用平均分，才能保证数值最少，得出“至少”的结论。7本数，2个抽屉，先平均放三本，还有1本多，所以不管怎样放，总有一个抽屉放进了4本书。同样，9本书，先平均放4本，每个抽屉的本书最少，但还是有1本，不管怎么放，总有一个抽屉是5本书。再引导学生用有余数的除法算式思考问题，得出结论：“当把多于kn个物体放进n个抽屉时，一定有一个抽屉放进了至少k+1个物体”。联系结论，让学生举出一些简单的例子，帮助学生自我消化理解含义。学生作业时，《作业本》上p28的前两题的证明，学生没有问题，但是求“293人至少有多少人的属相是相同的”、“45名学生至少有多少人是在同一月出生的”和“46名学生有几名成绩相同”时，学生能用有余数的除法写出算式，但是忘记把商加上一得出最小值。问题在哪里？学生只完成了平均分的这一步，没有考虑最少：把平均数（商）加一才能保证有一个达到“至少”值。
班上有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。解：把50名学生看作50个抽屉，把书看成苹果 ,根据原理1，书的数目要比学生的人数多,即书至少需要50+1=51本.24． 在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米。解：把这条
小路分成每段1米长，共100段,每段看作是一个抽屉，共100个抽屉，把101棵树看作是101个苹果 ,于是101个苹果放入100个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果 ,即至少有一段有两棵或两棵以上的树.25． 有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜.试证明：一定有两个运动员积分相同
证明：设每胜一局得一分,由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能 ,以这49种可能得分的情况为49个抽屉 ,现有50名运动员得分 则一定有两名运动员得分相同.26.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？
解题关键：利用抽屉原理2。
解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下9种：
｛足｝｛排｝｛蓝｝｛足足｝｛排排｝｛蓝蓝｝｛足排｝｛足蓝｝｛排蓝｝ 以这9种配组方式制造9个抽屉,将这50个同学看作苹果＝5.……5由抽屉原理2k＝〔 〕＋1可得，至少有6人，他们所拿的球类是完全一致的。
在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两对数，其和等于104。
分析：解这道题，可以考虑先将4与100，7与97，49与55……，这些和等于104的两个数组成一组，构成16个抽屉，剩下1和52再构成2个抽屉，这样，即使20个数中取到了1和52，剩下的18个数还必须至少有两个数取自前面16个抽屉中的两个抽屉，从而有不同的两组数，其和等于104；如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于104的数组将多于两组。
解：1，4，7，10，……，100中共有34个数，将其分成{4，100}，{7，97}，……，{49，55}，{1}，{52}共18个抽屉，从这18个抽屉中任取20个数，若取到1和52，则剩下的18个数取自前16个抽屉，至少有4个数取自某两个抽屉中，结论成立；若不全取1和52，则有多于18个数取自前16个抽屉，结论亦成立。
21.任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和能被3整除。
分析：解这个问题，注意到一个数被3除的余数只有0，1，2三个，可以用余数来构造抽屉。
解：以一个数被3除的余数0、1、2构造抽屉，共有3个抽屉。任意五个数放入这三个抽屉中，若每个抽屉内均有数，则各抽屉取一个数，这三个数的和是3的倍数，结论成立；若至少有一个抽屉内没有数，那么5个数中必有三个数在同一抽屉内，这三个数的和是3的倍数，结论亦成立。
1、有一些分别标有1.2.3的三种数字卡片,从中选取2张拼成两位数(在同一个数中每个数字只能出现一次),最多拼出多少个两位数时就会出现两个相同的数?
解 ：从三种卡片中挑选两张拼成两位数，搭配方式只能是下面六种：（1、2），（1、3），（2、3），（2、1），（3、1），（3、2）所以可以有：12 13 21 23 31 32这些数。把每种搭配方式看作一个抽屉，把拼看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少拼成两位数采用同一搭配方式，选的数字要四次就相同.原因：共有12，13，23，21，31，32这6种情况，只要再加任意一个就行了
2、红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的球各六个，如果放到同一个盒子里，至少摸出几个才能保证至少有两种颜色的球？
解：7
3.把17只兔子分别装在4个笼子里，每个笼子都必须有兔子，至多有几只兔子是装在同一个笼子里的？（列式并说理由）
解：17÷4＝4（只）余1（只）
每个笼子里放4只，余一只
4+1＝5（只）
至少有5只兔子是装在同一个笼子
4、有六种颜色的球至少拿出多少个才能保证有5个同色的球?
解：4*6+1=25 每种拿四个，最后第25个无论什么颜色都能有5个同色
5、任意四个自然数，其中至少又两个数的差是3的倍数，为什么？
解：首先我们弄清楚这样一体规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数。而任何一个自然数被3除的余数，只能是0、1、2这三个数中的一个，根据这三个状况，可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，至少有2个数是同一类。既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同，所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。
6、9只鹦鹉飞回8个笼子，至少有（）只鹦鹉要飞进同一个笼子。
解：至少2只。因为每个笼子平均一只的话，还剩一只，这一只必须飞回8个笼子中的任意一个，所以至少有一个笼子中是2只
7：一个盒子里有同样大小的红球10个，白球8个。至少要摸出多少个求，才能保证有4个求颜色相同的？ 3×2+1=78、从一副扑克牌中抽去两张王牌，在剩下的52张牌中任意取牌，至少要取多少张才能保证有2张红桃？ 解：黑 红 梅 方 每种13张 保证2个红桃 13*3+2=41张9、5位同学进行投篮练习，至少要投进多少个求才能保证其中1位同学进10个球？
解：5个人每人进了9个 5*9+1=46个
10、任意取多少自然数，才能保证至少有两个自然数的差是7的倍数？
证明：
任意一个自然数m，m被7除的余数有7种情况：0、1、2、3、4、5、6
所以，所有的自然数按被7除的余数分为7组，作为7个抽屉。
开始取数，那么如果我们要取尽量多的数满足条件，每组自然数中只能取一个，于是就可以取得7个自然数，它们的任意两个数的差都不是7的倍数，如果我们还要继续，根据抽屉原理，它一定是与之前所取的7个数中的某一个数在同一组，那么它们的差就是7的倍数，所以，我们只要任意取8个数，就一定有至少两个数的差是7的倍数。
同理可证7改为其它自然数的情况。
11、有7个不同的自然数，期中有两个数的差是6的倍数，为什么？
解：我们把所有的数按被6除的余数进行分类，共可以分为6类，被6除余数分别是0，1，2，3，4，5的数，我们把这样的6类数看成6个抽屉，现有7个数，要放到6个抽屉里，必有2个数放在同一个抽屉里，也就是这两个数被6除的余数相同，所以这两数的差被6除的余数是0，也就是这两数的差能被6整除。
12、在1,2,3,···,100这100个自然数中,每次取不等的两数相乘,使它们的积是7的倍数，这样的取法共多少种？ 解：要是7的倍数的话，肯定有一个乘数是7的倍数，而100内7的倍数有7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98，14个，每一个跟其他86乘，14*86种，然后，这14个，每两个相乘，有91种，总共有14*86+91=1295+91=1386
解： 1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？解：把３种颜色看作３个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于３，故至少取出４个小球才能符合要求。
2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？解：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。
3．11名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。
证明：若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种，若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”。如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。
4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。
证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。
5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？
解题关键：利用抽屉原理２。
解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下９种：﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。以这９种配组方式制造９个抽屉，将这50个同学看作苹果50÷9 ＝5……5由抽屉原理２k＝［m/n ］＋１可得，至少有６人，他们所拿的球类是完全一致的。
6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为__________人。
解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人）；因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多有9人。所以女生有9人，男生有55－9＝46（人）
7、证明：从1，3，5，……，99中任选26个数，其中必有两个数的和是100。解析：将这50个奇数按照和为100，放进25个抽屉：（1，99），（3，97），（5，95），……，（49，51）。根据抽屉原理，从中选出26个数，则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两个数的和即为100。
8.某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有______人带苹果。解析：由题意，不带苹果的乘客不多于一名，但又确实有不带苹果的乘客，所以不带苹果的乘客恰有一名，所以带苹果的就有46人。
一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了_______堆。
解析：要求把其中两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一定是偶数，那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。对于每一堆苹果和梨，奇偶可能性有4种：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根据抽屉原理可知最少分了4+1=5筐。
10.有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出_____只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
解析：考虑最坏情况，假设拿了3只黑色、1只白色和1只蓝色，则只有一双同颜色的，但是再多拿一只，不论什么颜色，则一定会有两双同颜色的，所以至少要那6只。
11.从前25个自然数中任意取出7个数,证明:取出的数中一定有两个数,这两个数中大数不超过小数的1.5倍.证明:把前25个自然数分成下面6组:
1;①
2,3;②
4,5,6;③
7,8,9,10;④
11,12,13,14,15,16;⑤
17,18,19,20,21,22,23, ⑥
因为从前25个自然数中任意取出7个数,所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组,这两个数中大数就不超过小数的1.5倍.12．一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？
解析：根据抽屉原理，当每次取出4张牌时，则至少可以保障每种花色一样一张，按此类推，当取出12张牌时，则至少可以保障每种花色一样三张，所以当抽取第13张牌时，无论是什么花色，都可以至少保障有4张牌是同一种花色，选B。
13．从1、2、3、4……、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？
【解析】在这12个自然数中，差是7的自然树有以下5对：｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝。另外，还有2个不能配对的数是｛6｝｛7｝。可构造抽屉原理，共构造了7个抽屉。只要有两个数是取自同一个抽屉，那么它们的差就等于7。这7个抽屉可以表示为｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝｛6｝｛7｝，显然从7个抽屉中取8个数，则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉，也即作差为7，所以选择D。
15．某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？
分析与解：将40名小朋友看成40个抽屉。今有玩具122件，122=3×40＋2。应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。
16．一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？
分析与解：将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。
17．六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？
分析与解：首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。
订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况；
订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；
订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。
总共有3＋3＋1=7（种）订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”，把100名学生看作100件物品。因为100＝14×7＋2。根据抽屉原理2，至少有14＋1＝15（人）所订阅的报刊种类是相同的。
18．篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？
分析与解：首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（种）。将这10种搭配作为10个“抽屉”。
81÷10=8……1（个）。根据抽屉原理2，至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果相同。
19．学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同？
分析与解：首先要弄清参加学习班有多少种不同情况。不参加学习班有1种情况，只参加一个学习班有3种情况，参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术3种情况。共有1＋3＋3＝7（种）情况。将这7种情况作为7个“抽屉”，根据抽屉原理2，要保证不少于5名同学参加学习班的情况相同，要有学生 7×（5-1）＋1＝29（名）。
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