解斜三角形简单练习_解斜三角形练习

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一、自主梳理1.正弦定理：

abc

===2R，其中R是三角形外接圆半径.sinAsinBsinC

b2c2a2

2.余弦定理：a=b+c-2bccosA,b=a+c-2accosB,cosA=.2bc11

1absinC=bcsinA=acsinB,S△=S(Sa)(Sb)(Sc)222abcabc

=Sr(S=,r为内切圆半径)=(R为外接圆半径).24R

3.S△ABC=

4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),coin

CAB=sin,22

CAB

=cos……

在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;

(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；

(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.7.解三角形常见的四种类型

(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及

abc

==，可求出角C，sinAsinBsinC

再求出b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.ab

=，求出另一边b的对sinAsinB

acab

角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由=求出C，而通过=求B时，sinAsinCsinAsinB

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理8.用向量证明正弦定理、余弦定理，关键在于基向量的位置和方向.9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.1．已知三角形的三边之比为3∶4∶37，则最大内角为 ． 2．已知(abc)(bca)＝3bc，则∠A＝．

3．已知三角形的一个内角是45，一邻边长是，对边长为2，则另一邻边长为．

，则∠A＝．

4

5．在△ABC中，已知a＝12，b＝4，∠A＝120，则c＝，S＝ ．

abc3b

6．已知sinA＝2sinBcosC，且＝，则三角形形状为．

bcac



7．在△ABC中，已知a＝1，b＝，∠A＝30，则∠B＝．

4．已知a＝4，b＝6，sinB＝

8．在△ABC中，已知a＝2，b＝22，如果三角形有解，则∠A的取值范围． 9．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC是 ．

10．在△ABC中，∠B＝45，D是BC上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝． 11．已知三角形的三条边之比为3∶5∶7，且最大边长为14，则三角形的面积为． 12．在锐角三角形ABC中，a＝8，c＝12，S＝243，则三角形中最小角是，它的正弦值等于． 二．选择题：

13．在△ABC中，sinA+cosA＝



7，则△ABC是（）1

2（A）钝角三角形；（B）锐角三角形；（C）直角三角形；（D）正三角形． 14．在△ABC中，∠A＝60，a＝7，b＝8，则三角形（）（A）有一解；（B）有两解；（C）无解；（D）不确定．

15．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosABC＝（）

111213；（B）－；（C）；（D）． 164244



16．在△ABC中，b＝1，c＝3，∠B＝30，则△ABC的面积是（）

（A）（A）

333；（B）；（C）或；（D）或． 24242

三．解答题：

17．在△ABC中，若acosA+bcosB＝ccosC，判断三角形形状． 解：

18．在△ABC中，已知ab＝60，S＝15，sinA＝cosB，求三角形的三内角． 解：

19．已知三角形三边是三个连续自然数，若最大角是最小角的两倍，求三边长． 解：



20．已知三角形两边之和为8，其夹角为60，求这个三角形周长的最小值和面积的最大值，并指出面积最大时三角形的形状． 解：

1.在△ABC中，A=60°，a=433,b=42，则B等于()

A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对 2.△ABC中，a=2bcosC，则此三角形一定是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 3.设A是△ABC最小内角，则sinA+cosA的取值范围是()

A.(-2，2)B.［-2,2］C.(1，2)D.(1,2］

Abc

在△ABC中，cos2=(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为()

2c

A.正三角形B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则∠A=_________________________.△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果a2=b(b+c),求证:A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角,二是角化边.已知锐角△ABC中,sin(A+B)=

31,sin(A-B)=.5

5(1)求证:tanA=2tanB;

(2)设AB=3,求AB边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形

如图，有两条相交成60°角的直路EF、MN，交点是O.起初，阿福在OE上距O点3千米的点A处；阿田在OM上距O点1千米的点B处.现在他们同时以4千米/时的速度行走，阿福沿EF的方向，阿田沿NM的方向

.(1)求起初两人的距离；

(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离；(3)什么时候他们两人的距离最短？

1.在△ABC中，cos（A－B）＋sin（A＋B）=2，则△ABC的形状是（）A.等边三角形B.等腰钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.锐角三角形

a2b2c22.若△ABC的面积为，则内角C等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90° 3.△ABC中，sin2A=sin2B＋sinBsinC＋sin2C，则A等于（）A.30°B.60°C.120°D.150°

4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.由增加的长度决定

5.在△ABC中，A为锐角，lgb+lg（A.等腰三角形 形）=lgsinA=－lg2，则△ABC为（）c

B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角

6.在△ABC中，a（sinB－sinC）＋b（sinC－sinA）＋c（sinA－sinB）的值是（）A.1

2B.0C.1D.π

7.R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R2cosAcosB，则△ABC的外心位于（）A.三角形的外部B.三角形的边上 C.三角形的内部D.三角形的内部或外部，但不会在边上 8.若△ABC的三条边的长分别为3、4、6，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是（）

A.1∶1B.1∶2C.1∶4D.3∶

9.如图，D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α（α＜β），则A点离地面的高AB等于（）

A

D



C



B

D.acoscos

cos()

A.asinsin

sin()

B.asinsin

cos()

C.acoscos

sin()

10.在△ABC中，若

tanAtanBcb，这个三角形必含有（）

tanAtanBc

A.30°的内角B.45°的内角C.60°的内角

11.在△ABC中，tanB=1，tanC=2，b=100，则a=______.D.90°的内角

12.在△ABC中，若∠B=30°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积为__________.13.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若（a＋b＋c）·（sinA＋sinB－sinC）=3asinB，则C=______.14.在△ABC中，S是它的面积，a、b是它的两条边的长度，S=(a2b2)，则△ABC

为__________三角形.15.（本小题满分10分）隔河看到两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面内），求A、B之间的距离.AB

C

D

16.（本小题满分10分）在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10,求AB的长.17.（本小题满分8分）在△ABC中，已知

tanAtanBcb，求∠A.

tanAtanBc

18.（本小题满分12分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为（1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向距离A为2海里的C处有我方一艘缉私艇奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私艇沿什么方向，才能最快追上走私船？需要多长时间？

19.（本小题满分14分）在△ABC中，已知a2－a=2（b＋c），a＋2b=2c－3.（1）若sinC∶sinA=4∶，求a、b、c；（2）求△ABC的最大角的弧度数.

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