高考分类汇总 考点31 直接证明与间接证明_集合高考分类汇总

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考点31 直接证明与间接证明

1.（2013·北京高考理科·Ｔ20）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1，an2…的最小值记为Bn，dn=An－Bn．

(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an4an)，写出d1，d2，d3，d4的值；

(2)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列；

(3)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，则{an}的项只能是1或2，且有无穷多项为1

【解题指南】(1)根据{dn}的定义求.(2)充分性:先证明{an}是不减数列,再利用定义求dn;必要性:先证明{an}是不减数列,再利用定义证明等差.(3)可通过取特殊值和反证法进行证明.【解析】（1）d1A1B1211，d2A2B2211，d3A3B3413，d4A4B4413。

（2）充分性：

若{an}为公差为d的等差数列，则ana1(n1)d.因为d是非负整数，所以{an}是常数列或递增数列.所以Anana1(n1)d，Bnan1a1nd，所以dnAnBnd(n=1,2,3,…).必要性：

若dnd(n1,2,3,)，假设ak是第一个使得anan10的项，则 a1a2ak2ak1ak，所以Akak1,Bkak，所以dkAkBkak1Bkak1ak0，这与dnd0矛盾.所以{an}是不减数列.所以dnAnBnanan1d，即an1and，所以{an}是公差为d的等差数列.（3）①首先{an}中的项不能是0，否则d1a102，与已知矛盾.②{an}中的项不能超过2，用反证法证明如下：

若{an}中有超过2的项，设ak是第一个大于2的项，{an}中一定存在项为1，否则与dn1矛盾.当nk时，an2，否则与dk1矛盾.因此存在最大的i在2到k-1之间，使得ai1，此时diAiBi2Bi220，矛盾.综上{an}中没有超过2的项.综合①②，{an}中的项只能是1或2.下面证明1有无数个，用反证法证明如下：

若ak为最后一个1，则dkAkBk220，矛盾.因此1有无数个.2.（2013·北京高考文科·Ｔ20）给定数列a1，a2，…，an。对i=1，2，…n-l，该数列前i项的最大值记为Ai，后n-i项ai+1，ai+2，…，an的最小值记为Bi，di=Ai-Bi.（1）设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值.（2）设a1，a2，…，an（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0.证明：d1，d2，…dn-1是等比数列。

（3）设d1，d2，…dn-1是公差大于0的等差数列，且d1＞0，证明：a1，a2，…，an-1是等差数列。

【解题指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值.(2)先求出{dn}的通项,再利用等比数列的定义证明{dn}是等比数列.(3)先证明{an}是单调递增数列,再证明an是数列{an}的最小项,最后证明{an}是等差数列.【解析】（1）d1A1B1312，d2A2B2413，d3A3B3=7-1=6。

（2）由a1,a2，an(n4)是公比大于1的等比数列，且a1＞0，可得{an}的通项为ana1qn1且为单调递增数列。

于是当k2,3,dkakak1a1qk1a1qk

q为定值。n1时，k2k1dk1ak1aka1qa1q

因此d1，d2，…dn-1构成首项d1a1a2，公比q的等比数列。

（3）若d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差数列,则0

因此a1,a2,…,an-1是单调递增数列.再证明an为数列{an}中的最小项,否则设ak0矛盾.因而k≥2,此时考虑dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak

因此,an为数列{an}中的最小项.综上,dk=Ak-Bk=ak-an(k=1,2,…,n-1),于是ak=dk+an,从而a1,a2,…,an-1是等差数列.

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35 直接证明与间接证明（材料）

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