届高三数学一轮复习基础导航：20.2直接证明与间接证明_高三数学一轮复习进度

证明时间：2020-02-27 11:14:00 收藏本文下载本文

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20.2直接证明与间接证明

【考纲要求】

1、了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2、了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点.3、了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【基础知识】

1.分析法：从原因推导到结果的思维方法.2.综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.3.反证法：判定非q为假，推出q为真的方法.[来源:Z。xx。k.Com]

应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真.4.数学归纳法：设｛pn｝是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题p1成立；⑵在假设pk成立的前提上，推出pk＋1也成立，那么可以断定，｛pn｝对一切正整数成立.5.直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法──反证法.6.数学归纳法的步骤：（1）证明当n=1时，命题成立。（2）证明假设当n=k时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立。由（1）（2）得原命题成立

【例题精讲】

例1已知a，b，c是互不相等的实数．

求证：由y＝ax＋2bx＋c，y＝bx＋2cx＋a和y＝cx＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点)，由y＝ax＋2bx＋c，222

2y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)－4ac≤0，Δ2＝(2c)－4ab≤0，[来源:学科网]

Δ3＝(2a)－4bc≤0.上述三个同向不等式相加得，4b＋4c＋4a－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a＋2b＋2c－2ab－2bc－2ca≤0，∴(a－b)＋(b－c)＋(c－a)≤0，∴a＝b＝c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．

111例2已知a＞0，－1, 1＋a＞.ba1－b 222222222222

1【证明】证法一：由已知－＞1及a＞0，可知b＞0，ba

要证1＋a＞

1－b可证1＋a·1－b＞1，a－b11

即证1＋a－b－ab＞1，这只需证a－b－ab＞01，即1，abba

而这正是已知条件，以上各步均可逆推，所以原不等式得证．

1及a＞0，可知1＞b＞0，ba11

∵－＞1，ba

∴a－b－ab＞0,1＋a－b－ab＞1，(1＋a)(1－b)＞1.由a＞0,1－b＞0，得1＋a1－b＞1，即1＋a＞.1－b

[来源:学_科_网]20.2【基础精练】

1．用反证法证明命题“如果a>b，那么a>b”时，假设的内容应是()

3A.a＝b

33B.a

3333D.a＝b或a

直接证明与间接证明强化训练

3333

C.a＝b且a

2．下列条件：①ab>0，②ab0，b>0，④a

有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是()

A．(a*b)*a＝aB．[a*(b*a)]*(a*b)＝a C．b*(b*b)＝bD．(a*b)*[b*(a*b)]＝b

4．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()

A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c|C．|a－b|＋

a－b

2B．a＋≥a＋baab

D.a＋3a＋1a＋2－a

5．已知函数f(x)＝ax＋2a＋1，当x∈[－1,1]时，f(x)有正值也有负值，则实数a的取值

范围为________． 6．如果函数f(x)的定义域为R，对于m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－6，且f(－1)

是不小于5的正整数，当x>1时，f(x)

7．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N)行，在这些数中非1的数字之和是

________________．11 121 1331 14641 „„[来源:学|科|网]

8．试证：当n∈N时，f(n)＝

39．如右图所示，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：平面PAC⊥

平面BDE.10．已知数列{an}的前n项的和Sn满足Sn＝2an－3n(n∈N)．

(1)求证{an＋3}为等比数列，并求{an}的通项公式；

(2)数列{an}是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

【拓展提高】

1.如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M、N分别为AB、DF的中点．(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．

2n＋

2

－8n－9能被64整除．

【基础精练参考答案】

5.－1

f(1)·f(－1)

∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)

∵f(－1)＝－a＋6≥5.∴a≤1.又知当x>1时，f(x)

－1)＝2－2n.n

n－

1＝2－1，除掉1的和2－1－(2n

8.证明：证法一：(1)当n＝1时，f(1)＝64，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N，k≥1)时，f(k)＝3当n＝k＋1时，由于

32(k＋1)＋2*

2k＋2

－8k－9能被64整除．

－8(k＋1)－

9＝9(3

2k＋2

－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(3

2k＋2

－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．根据(1)、(2)可知，对于任意n∈N，命题都成立．证法二：(1)当n＝1时f(1)＝64 命题显然成立．

(2)假设当n＝k(k∈N，k≥1)时，f(k)＝3由归纳假设，设3将

32k＋

22k＋2

2k＋2

－8k－9能被64整除．

－8k－9＝64m(m为大于1的自然数)，＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得

f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．

根据(1)(2)知，对于任意n∈N，命题都成立． 9.证明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD.又∵O是正方形的中心，∴BD⊥AC.∵PO∩AC＝0，∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.10.证明：(1)∵Sn＝2an－3n(n∈N)，∴a1＝S1＝2a1－3，∴a1＝3.又由

Sn＝2an－3n，

Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)

得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，[来源:学§科§网

Z§X§X§K]

∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列．[来源:Zxxk.Com] ∴an＋3＝6×2

n－

1，即an＝3(2－1)．

(2)解答：假设数列{an}中存在三项ar，as，at(r

s＋1

＝2＋2，∴2

rts＋1－r

＝1＋2