高三一轮复习教案26直接证明与间接证明学生版_高三第一轮复习教案

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直接证明与间接证明

1． 直接证明

(1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→„→Qn⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．

(2)分析法

①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→„→得到一个明显成立的条件.2． 间接证明

反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

[难点正本 疑点清源]

1． 综合法证明问题是由因导果，分析法证明问题是执果索因．

2． 分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．

基础题 1． 要证明“3＋5”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________．(填序号)

①反证法，②分析法，③综合法．

ba2． 下列条件：①ab>0，②ab0，b>0，④a

的个数是________．

3． 已知函数f(x)＝lg

4． 下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分

析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有

A．2个/ 6

1－x，若f(a)＝b，则f(－a)＝______(用b表示)． 1＋x()B．3个C．4个D．5个

5． 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设

A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60° 题型分类

题型一 综合法的应用

()

1112例1 已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋abc≥63，并确定a，b，c为何

值时，等号成立．

21思维启迪：利用a2＋b2≥2ab，再利用ab2，根据这个解题思路去解

ababab答本题即可．

已知a、b、c为正实数，a＋b＋c＝1.求证：(1)a2＋b2＋c2≥；

3(2)3a＋23b＋23c＋2≤6.题型二 分析法的应用

a＋mb2≤a＋mb.例2 已知m>0，a，b∈R，求证：1＋m1＋m

思维启迪：本题若使用综合法，不易寻求证题思路．可考虑使用分析法．

已知a>0，求证：

题型三 反证法的应用

例3 已知a≥－1，求证三个方程：

211a2－2≥a＋－2.aa

x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数根．

思维启迪：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“三个方程都没有实数根”．

等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝12，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

S(2)设bn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

n

随堂练

A组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． 若a，b，c为实数，且a

A．ac2

B．a2>ab>b2 baD.ab

()

()

2． 设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x

A．a>b

B．a

C．a＝b

D．a≤b

3． 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，b－ac

3a”索的因应是 A．a－b>0

()

B．a－c>0 D．(a－b)(a－c)

C．(a－b)(a－c)>0

4． 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为

()

A．a，b，c中至少有两个偶数

B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．a，b，c都是奇数 D．a，b，c都是偶数

二、填空题(每小题5分，共15分)

5． 设a>b>0，mab，n＝a－b，则m，n的大小关系是__________．

6． 用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，则a，b，c，d

中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是_____． 7． 设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若

x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号)．

①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．

三、解答题(共22分)

ππ

10，，若x1，x2∈0，且x1≠x2，求证：[f(x1)＋8．(10分)已知函数f(x)＝tan x，x∈22

2f(x2)]>f

9．(12分)已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD2，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；

(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．

x1＋x2

2.B组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

1． 若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是

A．lg(1＋a2)>0C．a2＋3ab>2b

2()

B．a2＋b2≥2(a－b－1)aa＋1D.bb＋

1()

2． 设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋c

bca

A．都不大于－2B．都不小于－2

C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2

3． 已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m，1)．给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.其中正确结论的个数为 A．

3()

B．2C．1D．0

二、填空题(每小题5分，共15分)

4． 关于x的方程ax＋a－1＝0在区间(0,1)内有实根，则实数a的取值范围是__________． 5． 若a，b，c为Rt△ABC的三边，其中c为斜边，那么当n>2，n∈N*时，an＋bn与cn的大小关系为____________．

6． 凸函数的性质定理为如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，fx1＋fx2＋„＋fxnx1＋x2＋„＋xn„，xn，有f

nn，已知函数y＝sin x在区间(0，π)上 是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________．

三、解答题

ax－1

7．(13分)已知函数f(x)＝ln x－.x＋1

(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，求a的取值范围； m－nm＋n＋

(2)设m，n∈R，且m>n，求证：.ln m－ln n2

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