面面平行_面面平行题

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面面平行的判定和性质

一、内容提要

1.两个平面的位置关系：

（1）平行：没有公共点；

（2）相交：有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。

2.两个平面平行的判定定理表述为：

4.两个平面平行具有如下性质：

（1）两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。

简述为：“若面面平行,则线面平行”。

（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

简述为：“若面面平行,则线线平行”。

（3）如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。

（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。

二、要点内容

1.证明两个平面平行的方法有：

（1）根据定义。证明两个平面没有公共点。

由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。

（2）根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。

（3）根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。

2.两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定；另一方面，平面与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。

3.两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。

1、设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的是„()A.lα,mα,且l∥β,m∥β B.lα,mα,且l∥m C.l⊥α,m⊥β,且l∥m D.l∥α,m∥β,且l∥m

2．已知直线l⊥平面α,直线m②

③

平面β,有下面四个命题: ①④

其中正确的两个命题是（）

A．①与②B．③与④C．②与④D．①与③

3、下列命题中正确的是()

①平行于同一直线的两个平面平行②平行于同一平面的两个平面平行③垂直于同一直线的两个平面平行④与同一直线成等角的两个平面平行

A.①②B.②③C.③④D.②③④

4、给出下列四个命题:①夹在两个平行平面间的线段中,较长的线段与平面所成的角较小;②夹在两个平行平面间的线段相等,则它们与两个平面所成的角相等;③夹在两个平行平面间的线段相等,则这两线段必平行;④夹在两个平行平面间的平行线段必相等.其中正确的命题有()

A.①②④B.②③④C.①③D.④

5、设α,β表示平面,a表示直线,且直线a不在平面α或β内,并有①α∥β;②a⊥α;③a⊥β.以其中任意两个为条件,另一个为结论,可构造出三个命题.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.06、已知平面α∥平面β,α,β之间的距离等于d,直线aα,则β内()A.有且只有一条直线与a的距离等于d B.有无数条直线与a的距离等于d C.所有直线与a的距离都等于d D.仅有两条直线与a的距离等于d7、如果平面α∥平面β,直线a平面α,点B∈β,则平面β内过点B的所有直线中,下列结论成立的是()

A.不一定存在与a平行的直线 B.不存在与a平行的直线

C.存在唯一一条与a平行的直线 D.存在无数条与a平行的直线

8、已知m,n是不同的直线,α,β是不重合的平面,给出下列命题: ①若m∥α,则m平行于平面α内的任意一条直线;②若α∥β,mα,nβ,则m∥n;③若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;④若α∥β,mα,则m∥β.其中正确的命题是()

A.①②③B.③④ C.②③D.④

*

9、已知平面α∥平面β,C、A∈α,B、D∈β,AB⊥CD,且AB=2，直线AB与平面α所成的角为30°，则线段CD长的取值范围为()

]

3242,)D.［,+∞)C.(333

A.［1，+∞)B.(1,*

10、已知平面α∥平面β，其间夹一垂线段AB=4，另一斜线段CD=6，且AC=BD=3.E、F分别是AB、CD的中点，则EF的长为（）

A.1B.2C.2D.511、如下图,点P是一光源,将一投影片放在平面α内,问投影幕所在平面β与平面α______时,投影图象的形状不发生变化

.12、如图，已知平面α∥平面β，线段AB、CD夹在α、β之间，AB=13，CD=55，且它们在β内的射影之差为2，则α和β之间的距离是

____________.13、如图，平面段BF分别交，线段AB分别交

于C、D，线END的面积．

于M、N，线段AD分别交

=78．求

于F、E，若AM=9，MN=11，NB=15，S14、如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面 CDE是等边三角形,棱EF

2BC.(1)证明FO∥平面CDE;

(2)设BC=CD,证明EO⊥平面CDF.15.如图2－23：已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面BDC1。

D

1C1

AC

B

16.如图：B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，（1）求证：平面MNG//平面ACD；（2）求SMNG:SADC

D C

A

17．如图：在正方体ABCD－EFGH中，M、N、P、Q、R、S分别是AE、EH、EF、CG、BC、CD的中点，求证：平面MNP//平面QRS。

E

Q

CA B

18.如图，正四棱锥S—ABCD的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC上，并且BP∶PD＝1∶2，PQ∥平面SAD，求线段PQ的长

.19.已知：如图，α∥β，异面直线AB、CD和平面α、β分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：(1)E、F、G、H共面；(2)面EFGH∥平面α.

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